关于GL(n;ℝ)李代数上不变多项式是否满足f(ZY)=f(YZ)的技术问询

嘿，我最近在研究$\mathfrak{gl}(n;\mathbb{R})$（也就是所有$n\times n$实矩阵构成的李代数，对应$GL(n;\mathbb{R})$的李代数）上的不变多项式，遇到一个问题想请教大家：

首先明确一下定义：

• 称多项式$f:\mathfrak{gl}(n;\mathbb{R})\to \mathbb{R}$为不变多项式，当且仅当对任意$A\in GL(n;\mathbb{R})$和$X\in \mathfrak{gl}(n;\mathbb{R})$，都满足$f(X)=f(A^{-1}XA)$。

我的核心疑问是：

如果$f$是这样的不变多项式，是否能推出对任意两个实矩阵$Z,Y$，都有$f(ZY)=f(YZ)$？

补充几个已知的前提：

• 这个命题的逆命题是显然成立的——只要取$Z=A^{{-1}X$，$Y=A$，代入就能验证$f(X)=f(A}{-1}XA)$，刚好符合不变多项式的定义。
• 如果$Z$或$Y$中至少有一个是可逆矩阵，这个问题就很简单：比如假设$Y$可逆，那么$YZ = Y(ZY)Y^{-1}$，也就是$YZ$和$ZY$相似，直接利用$f$的不变性就能得到$f(YZ)=f(ZY)$。

但我卡在了两个矩阵都不可逆的一般情况，有没有大佬能给点证明的思路或者提示呀？提前谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rakhal Chandran.B