求证log(f)为次调和函数过程中拉普拉斯算子相关不等式的正确性疑问

嘿，我看你在推导$\log(f)$的次调和性时卡在了这个不等式的验证上，先直接给你两个关键结论：

1. 你要证明的不等式$\Delta f \cdot f \geq \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2$并不是对所有正的次调和函数$f$都成立；
2. 你的初始命题（若$f$是$\mathbb{R}^2$开集$G$上正的次调和函数，则$\log(f)$也是次调和函数）本身就是不成立的！

咱们用一个非常简单的反例就能验证：
取$f(x,y) = x + 1$，定义域$G = { (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x > -1 }$，显然$f$在$G$上恒正，且它的拉普拉斯算子$\Delta f = 0 + 0 = 0 \geq 0$，完全满足次调和函数的定义。

现在计算$\log(f) = \log(x+1)$的拉普拉斯算子：
$$
\Delta \log(f) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \log(x+1) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \log(x+1) = -\frac{1}{(x+1)^2} + 0 = -\frac{1}{(x+1)^2}
$$
显然在$G$内这个值恒小于0，不符合次调和函数要求$\Delta g \geq 0$的条件，这就直接说明$\log(f)$不是次调和函数。

回到你卡住的不等式，在这个例子里：

• $\Delta f \cdot f = 0 \cdot (x+1) = 0$
• $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 = 1^2 + 0^2 = 1$
  显然$0 \geq 1$不成立，这就是你推导到这里卡壳的原因——这个不等式并不普遍成立，对应的初始命题也不成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rubikman23