5政党联盟部长职位分配特定申请场景的概率求解咨询

嗨，我来帮你梳理这个概率问题的思路，先把你的问题和当前的思考整理清楚：

问题原文 #

我有一个计数概率问题：
a) 5个政党组成的联盟要分配10个部长职位，每个政党可以申请2个不同的职位，总共提交10份申请（对应10个职位）。假设每个政党随机选择2个不同的职位申请。求所有申请都不重复（即每个职位恰好被申请1次）的理想情况的概率？
b) 求恰好1个职位被2个政党申请、1个职位无人申请、剩下8个职位各被申请1次的概率？

你的现有思路与困惑 #

• 关于a部分：我已经搞懂啦！
  我用字母代表10个职位，把分配情况表示为AA BB CC DD EE（每个字母对应一个职位，重复字母代表同一政党申请的两个职位）。
  计算概率的方式是：
  (C(10,2) * C(8,2) * C(6,2) * C(4,2)) / (C(10,2))^5
  这里分子是把10个职位无重复分配给5个政党（每个党2个）的总方式数，分母是所有可能的申请方式总数（每个党独立选2个职位，共5个党）。

• 关于b部分：我完全摸不着头脑QAQ
  我尝试用字母表示这个场景：T T O O O O O O O O（T代表被申请2次的职位，O代表被申请1次的职位，还有1个职位没有字母代表无人申请）。
  我初步想的是：先选2份申请对应同一个职位（C(10,2)），然后剩下8份申请对应8个不同职位（C(8,8)），再乘以10（第一个申请可选10个职位）和8（第二个申请可选8个职位），但后面就不知道怎么继续了，而且题目给的参考答案我也看不懂。

针对b部分的分步拆解（帮你理清逻辑） #

要计算这个场景的概率，核心是先算出符合条件的申请方式总数，再除以所有可能的申请方式总数（就是a部分里的分母(C(10,2))^5）。咱们一步步来：

1. 拆解符合条件的申请结构

我们要构建的是“1个职位被2次申请、1个职位无申请、8个职位各1次申请”的所有可能情况，分5个子步骤计数：

• 选被重复申请的职位：从10个职位里挑1个，有C(10,1)种选择；
• 选无人申请的职位：从剩下的9个职位里挑1个，有C(9,1)种选择；
• 确定哪两个政党撞了申请：5个政党里选2个，这俩都申请了刚才选的重复职位，有C(5,2)种选择；
• 处理这两个政党的第二份申请：这俩政党的另一份申请必须从剩下的8个“仅被申请1次”的职位里选，而且不能重复（不然会出现新的重复）。因为政党不同，选职位的顺序有意义，所以是P(8,2) = 8*7种方式；
• 处理剩下3个政党的申请：剩下3个政党每个要选2个不同的职位，而且这些职位只能是剩下的6个“仅被申请1次”的职位（10个职位减去1个重复、1个空缺、2个被刚才俩政党用了的，剩下6个）。把这6个职位分成3组每组2个，对应3个政党，方式数是C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)。

2. 计算符合条件的总方式数

把上面的子步骤结果相乘：
C(10,1) * C(9,1) * C(5,2) * (8*7) * (C(6,2)*C(4,2)*C(2,2))

3. 计算最终概率

用上面的结果除以所有可能的申请方式总数(C(10,2))^5，就是b部分要求的概率啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lola