矩形区域Dirichlet边界条件下拉普拉斯特征值问题求解及节点分量计数疑问

问题背景 #

在边长为$a$和$b$（且$b^2/a2$为无理数）的矩形区域$R$中，我需要分析带Dirichlet边界条件的拉普拉斯特征值方程：
$$- \Delta u = \lambda u$$
目标是证明该方程的特征值为$\lambda_{m,n} = \frac{m^2}{a2} + \frac{n^2}{b2}$，对应的特征函数为$u_{m,n}(x,y) = \sin \left(\frac{mx}{a}\right) \sin\left(\frac{ny}{b}\right)$，且该函数是方程的解。

我的分离变量推导尝试 #

我采用分离变量法，设$u_{m,n}(x, y) = X(x)Y(y)$，代入方程后整理得到：
$$\frac{X''(x)}{X(x)} - \frac{Y''(y)}{Y(y)} = \lambda$$
进一步变形为：
$$\frac{X''(x)}{X(x)} = - \lambda - \frac{Y''(y)}{Y(y)} $$
我假设$\frac{X''(x)}{X(x)} = -k^2$，因此得到$X(x) = \sin(kx)$（考虑Dirichlet边界条件，舍去余弦项）。

对应地，推导$Y(y)$的方程：
$$\frac{Y''(y)}{Y(y)} = k^2 - \lambda$$
因此得到$Y(y) = \sin\left(\sqrt{k^2-\lambda} y\right)$（同样舍去余弦项）。

应用Dirichlet边界条件：当$x=0$或$a$、$y=0$或$b$时，$u_{m,n}(x,y)=0$。

• 对于$X(x)=\sin(kx)$，当$x=a$时$\sin(ka)=0$，因此$k = \frac{m \pi}{a}$（$m$为正整数）；
• 对于$Y(y)=\sin\left(\sqrt{k^2-\lambda} y\right)$，当$y=b$时$\sin\left(\sqrt{k^2-\lambda} b\right)=0$，因此$\sqrt{k^2-\lambda} = \frac{n\pi}{b}$（$n$为正整数）。

代入$k$的值计算$\lambda$，得到：
$$\lambda = k^2 - \frac{n^2 \pi^2}{b2} = \frac{m^2 \pi^2}{a2} - \frac{n^2 \pi^2}{b2}$$

遇到的疑问 #

1. 我的推导结果和题目给出的特征值$\lambda_{m,n} = \frac{m^2}{a2} + \frac{n^2}{b2}$相差了$\pi^2$，而且符号也不对，请问哪里出错了？该怎么修正得到正确的特征值？
2. 另外需要证明$\mu (u_{m,n}) = mn$，其中$\mu$用于计数矩形中特征函数$u_{m,n}$的节点分量，这部分应该从哪里入手分析？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者sulivan2809