射影空间中0处茎的含义及相关指代疑问（以射影直线为例）

嘿，这个问题真的一点都不trivial，刚接触射影概形的时候谁都会有这种懵懵的困惑，我来给你捋清楚～

首先咱们先明确射影直线$\mathbb{P}^{1$的基本构造：它是用两个仿射直线“粘”出来的——一个是坐标为$x$的仿射直线$\mathbb{A}}1_x$（对应$\mathbb{P}^{1$里形如$[a:1]$的点，$a$是基域里的元素），另一个是坐标为$y$的仿射直线$\mathbb{A}}1_y$（对应形如$[1:b]$的点），粘的规则是当$x≠0$时，$[x:1]$和$[1:1/x]$是同一个点，也就是$y=1/x$。

你问的“0”，其实指的是射影直线上的点$[0:1]$——这个点刚好落在$\mathbb{A}^{1_x$这个仿射拷贝里，对应的就是$\mathbb{A}}1_x$里的原点（$x=0$的位置）。而且它根本不在另一个仿射拷贝$\mathbb{A}^{1_y$里（因为$\mathbb{A}}1_y$里的点第一个分量都是1，不可能是0），所以完全不用纠结“哪个拷贝”的问题，这个点只属于$\mathbb{A}^1_x$这个开集。

再来说0处的茎（stalk）：概形里某一点$p$处的茎，本质上是所有包含$p$的开邻域上的函数环的“正向极限”——说得直白点，就是在$p$附近局部有定义的函数的等价类（两个函数只要在$p$的某个小邻域上取值相同，就视为同一个元素）。对于$p=[0:1]$，咱们直接用它所在的仿射开集$\mathbb{A}^{1_x$来计算就好：$\mathbb{A}}1_x$的坐标环是$k[x]$，$p$对应的极大理想是(x)（也就是由$x$生成的理想，因为$x$在$p$处的取值为0），那么$p$处的茎就是$k[x]$在极大理想(x)处的局部化，也就是k[x]_{(x)}——这个局部环里的元素都是形如$f(x)/g(x)$的分式，其中$g(0)≠0$（也就是$g$不在(x)这个理想里），刚好对应在0附近有定义的函数。

你提到的“由0生成的理想”其实是个小误解：0这个点对应的理想是极大理想(x)，而由0生成的理想是零理想${0}$，这俩完全不是一回事哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adronic