关于复射影空间ℙⁿ上富比尼-施图迪凯勒形式作为整系数上同调群H²(ℙⁿ,ℤ)生成元的证明问询

嘿，我来梳理下你的问题和思路，然后聊聊能不能从你现有的观察直接推导出结论。

你的核心目标是：证明由$\Bbb{P}^{n$上的富比尼-施图迪（Fubini-Study）度量诱导的凯勒形式是整系数上同调群$H}2(\Bbb{P}^n,\Bbb{Z})$的生成元。

你的尝试步骤整理如下：

• 借助庞加莱对偶性，积分运算给出了同构映射 $H^2(X,\Bbb{R}) \to \Bbb{R}$，而$\int \omega_{\text{FS}} = 1$，因此$[\omega_{\text{FS}}]$是实系数上同调群$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{R})$的生成元。
• 你指出富比尼-施图迪形式的上同调类等于线丛$\mathcal{O}(1)$的第一陈类，即$[\omega_{\text{FS}}] = c_1(\mathcal{O}(1))$；而第一陈类的取值落在整系数上同调群$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{Z})$中，且这个群同构于$\Bbb{Z}$（无挠）。

现在你想问的是：能不能不借助额外的代数拓扑结论，仅从上面的观察就推导出它是$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{Z})$的生成元？

当然可以！我们完全可以基于你已有的两点观察直接推导：

1. 首先，$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{Z}) \cong \Bbb{Z}$，这是一个循环群，它的生成元在同构对应下就是$\pm 1$。
2. 考虑整系数上同调到实系数上同调的自然嵌入同态 $i: H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{Z}) \to H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{R})$，因为$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{Z})$无挠，这个同态是单射——也就是说整上同调类在实上同调里不会被“压缩”成零，每个整类都对应唯一的实类。
3. 你已经知道$i([\omega_{\text{FS}}])$是$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{R})$的生成元，而且$\int \omega_{\text{FS}} = 1$。对于$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{Z})$中的任意元素$\alpha$，$\int i(\alpha)$的结果必然是整数（这是整上同调类的基本性质，其实也和你用到的庞加莱对偶整结构一致）。
4. 既然$\int [\omega_{\text{FS}}] = 1$，而整上同调类对应的积分值都是整数，那么$[\omega_{\text{FS}}]$在$H^2(\Bbb{P}n,\Bbb{Z}) \cong \Bbb{Z}$的同构下就对应整数$1$——也就是这个循环群的生成元。

换个更直白的说法：整上同调群是无挠的循环群，它在实上同调里的像也是一个循环子群；而你的富比尼-施图迪形式的类不仅生成了整个实上同调空间，它的积分值还是整数里的“单位元”1，所以它必然就是整上同调群的生成元。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者yi li