关于双违约时间期望积分等式的推导验证与疑问
背景设定先理清楚
首先咱们把问题里的核心定义明确下来：
- 两个独立的违约时间：
$$\tau_i=\inf\left{t: \int_0^t\lambda_i(s) ,ds \geq E_1\right},\quad i\in{1,2}$$
这里$E_1$是标准指数随机变量，$\lambda_i(\cdot)$是和主体$i$违约挂钩的随机风险率，而且$\tau_1$和$\tau_2$是独立的。 - 生存概率与违约概率的关系：
$$S_i(t,u)=E\left[1_{\tau_i>u}|F_t\right]=1-Q_i(t,u)$$
其中$F_t=\sigma(\left{\tau\leq v}:v\leq t\right)$是由$t$及之前的违约事件生成的信息过滤（filtration）。
原论文等式的第一个疑问：积分变量的问题
你提到论文里的等式：
$$\int_tTE\left[1_{t<\tau_1<\tau_2<T}|F_t\right]du=\int_tTS_2(t,u)dQ_1(t,u)$$
这个确实有问题！左边的被积函数$E\left[1_{t<\tau_1<\tau_2<T}|F_t\right]$是一个和积分变量$u$无关的常数，积分出来的结果应该是这个常数乘以$(T-t)$，显然和右边的Stieltjes积分不匹配。所以你的修正完全正确，等式应该写成：
$$\int_tTE\left[1_{t<\tau_1<\tau_2<u}|F_t\right]du=\int_tTS_2(t,u)dQ_1(t,u)$$
第二个疑问：指示函数的简化是否成立
你问的这个等式：
$$E\left[1_{t<\tau_1<\tau_2<u}|F_t\right]=E\left[1_{\tau_1<\tau_2<u}|F_t\right]$$
其实不完全成立，得结合$F_t$的信息来看：
- 如果在时间$t$已经观测到$\tau_1\leq t$，那么左边的指示函数$1_{t<\tau_1<\tau_2<u}$直接为0，但右边的$1_{\tau_1<\tau_2<u}$可能不为0（比如$\tau_1\leq t < \tau_2 < u$时，右边是1），这时候两边不等。
- 只有当$\tau_1>t$（这个事件是$F_t$-可测的，因为$F_t$包含了$t$之前的违约信息）时，$t<\tau_1$是已知成立的，这时候才有：
$$E\left[1_{t<\tau_1<\tau_2<u}|F_t\right] = 1_{\tau_1>t} \cdot E\left[1_{\tau_1<\tau_2<u}|F_t\right]$$
所以你的直觉方向是对的，但漏掉了$1_{\tau_1>t}$这个$F_t$-可测的指示项。
推导过程的合理性分析与修正
你给出的推导步骤方向是对的，但中间有些符号需要明确，我帮你梳理下更严谨的逻辑：
$$
\begin{align}
& \int_t^T E\left[1_{t<\tau_1<\tau_2<u} \mid F_t\right] du \
=& \int_t^T P\left(t<\tau_1<u, \tau_2>u \mid F_t\right) du \quad \text{（指示函数的期望就是条件概率）} \
=& \int_t^T P\left(\tau_2>u \mid F_t\right) \cdot P\left(t<\tau_1<u \mid F_t\right) du \quad \text{（利用$\tau_1$和$\tau_2$的独立性）} \
=& \int_t^T S_2(t,u) \cdot dQ_1(t,u) \quad \text{（$dQ_1(t,u)$是$Q_1(t,u)$对$u$的微分，即$P(\tau_1\in du \mid F_t)$）}
\end{align}
$$
这里的关键是：
- 利用独立性拆分条件概率，因为$\tau_1$和$\tau_2$独立，在给定$F_t$的条件下它们依然独立（$F_t$是违约事件的过滤，不包含两者未来的风险率信息）。
- $P(t<\tau_1<u \mid F_t)$就是违约概率$Q_1(t,u)$减去$Q_1(t,t)$，而$Q_1(t,t)$是$t$时刻$\tau_1$已经违约的概率，当$\tau_1>t$时$Q_1(t,t)=0$，当$\tau_1\leq t$时$P(t<\tau_1<u \mid F_t)=0$，所以微分形式$dQ_1(t,u)$刚好对应$\tau_1$在$(t,u]$内违约的概率元。
总结一下
- 你对原论文等式的修正完全正确，原等式确实存在积分变量的错误。
- 指示函数的简化需要加上$F_t$下$\tau_1>t$的条件，不能直接去掉$t<\tau_1$的限制。
- 你的推导思路是对的，结合独立性和生存/违约概率的微分关系，就能得到修正后的等式。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nemo
