证明对所有$p\in f^{-1}(0)$均有$df_p\neq 0$的方法可行性问询

我正尝试解决这个问题：
考虑函数 $f: S^2 \to \Bbb{R}$，定义为 $f(x,y,z)=x^{2023}+y{2023}+z^{2023}$。证明对所有 $p\in f^{-1}(0)$，都有 $df_p\neq 0$。

我目前的思考方向是这样的：

• 先对$f$关于$x,y,z$求偏导，得到：
  $f_x=2023 x^{2022}, f_y=2023 y^{2022}, f_z=2023 z^{2022}$。
• 接着用单位球面的标准参数化：$s(u,v)=(\cos(u) \sin(v),\sin(u) \sin (v), \cos (v))$。
• 计算参数化后的偏导：
  $$f_x(s(u,v))=2023 \cos ^{2022}(u) \sin ^{2022}(v)\
  f_y(s(u,v))=2023 \sin ^{2022}(u) \sin ^{2022}(v)\
  f_z(s(u,v))=2023 \cos ^{2022}(v)$$
• 最后打算分情况验证是否存在$(u,v)$使得上述三个偏导同时为0，以此来证明结论。

你的这个思路是完全可行的！不过其实可以不用引入球面的参数化，直接从微分的本质出发会更简洁：

$df_p$对应的梯度向量就是$(f_x,f_y,f_z)=2023(x^{2022},y{2022},z^{{2022})$。要让$df_p=0$，必须满足$x}{2022}=y^{2022}=z{2022}=0$，也就是$x=y=z=0$，但$(0,0,0)$根本不在单位球面$S^{2$上，自然也不属于$f}{-1}(0)$，这就直接说明了结论。

当然，如果你坚持用参数化的方法来验证，逻辑也是通顺的：

• 假设三个偏导同时为0，那么：
  1. $\cos^{{2022}(u)\sin}{2022}(v)=0$
  2. $\sin^{{2022}(u)\sin}{2022}(v)=0$
  3. $\cos^{2022}(v)=0$
• 从条件3可知$\cos(v)=0$，即$v=\pi/2$或$3\pi/2$，此时$\sin(v)=\pm1$，$\sin^{2022}(v)=1$。
• 把这个结果代入条件1和2，就要求$\cos^{{2022}(u)=0$且$\sin}{2022}(u)=0$，但根据三角函数的基本性质$\cos^2u+\sin2u=1$，这两个等式不可能同时成立。
• 所以不存在这样的$(u,v)$，也就证明了对所有$p\in f^{-1}(0)$，$df_p\neq0$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Red Banana