多项式f=2018X²⁰¹⁹−2019X²⁰¹⁸+1除以(X−1)²的商式求解优雅方法咨询

API 探路者

2026-4-23

嘿，这个问题我刚好有几个不用硬啃长除法的优雅思路，分享给你：

首先我们可以利用多项式整除的判定条件：如果多项式$f(X)$能被$(X-a)^2$整除，那么$f(a)=0$且$f'(a)=0$（一阶导数在$a$处也为0）。

计算$f(1)=2018×1^{2019} -2019×1^{2018}+1=2018-2019+1=0$；
求一阶导数：$f'(X)=2018×2019X^{2018} -2019×2018X^{{2017}=2018×2019X}{2017}(X-1)$，代入$X=1$得$f'(1)=0$。
这说明$f(X)$确实是$(X-1)^{2$的倍数，余数为0，接下来只需要求商式$Q(X)$，满足$f(X)=(X-1)}2Q(X)$。

设商式$Q(X)=a_{2017}X^{{2017}+a_{2016}X}{2016}+...+a_1X+a_0$，我们把右边展开后和$f(X)$对比系数：

最高次项系数：$(X-1)^2Q(X)$的$X{2019}$系数就是$a_{2017}$，对应$f(X)$的系数2018，所以$a_{2017}=2018$；
次高次项系数：$(X-1)^2Q(X)$的$X{2018}$系数是$a_{2016}-2a_{2017}$，对应$f(X)$的系数-2019。代入$a_{2017}=2018$，可得：
$a_{2016}-2×2018=-2019$ → $a_{2016}=2×2018-2019=2017$；
中间项系数递推：对于$1≤k≤2017$，$(X-1)^2Q(X)$的$Xk$系数为$a_{k-1}-2a_k+a_{k+1}$，而$f(X)$中这些项的系数都是0，所以得到递推关系：$a_{k+1}-2a_k+a_{k-1}=0$。
这个递推式表示$Q(X)$的系数二阶差分是0，说明系数是线性变化的。结合前面的$a_{2017}=2018$、$a_{2016}=2017$，很容易看出规律：$a_k=k+1$（比如$a_{2017}=2017+1=2018$，$a_0=0+1=1$）。
所以$Q(X)=2018X^{2017}+2017X{2016}+...+2X+1$，正好是你给出的结果。

我们可以把$f(X)$拆成能提取$(X-1)$因子的部分，逐步分解：

\begin{align*}
f(X)&=2018X^{2019}-2019X^{2018}+1\\
&=2018X^{2018}(X-1) - (X^{2018}-1)
\end{align*}

注意到$X^{{2018}-1=(X-1)(X}{2017}+X^{2016}+...+X+1)$，代入上式：

f(X)=(X-1)\left[2018X^{2018} - (X^{2017}+X^{2016}+...+1)\right]

现在对括号里的式子继续观察：把$2018X^{{2018}$拆成$X}{2018}+2017X^{{2018}$，再结合$X}n - X^{n-1}=X{n-1}(X-1)$的规律，可逐步提取出$(X-1)$因子，最终得到括号内的式子就是$(X-1)Q(X)$，两步拆分后就得到了最终的分解式。

对于多项式$f(X)$，在$X=1$处的泰勒展开式为：

f(X)=f(1)+f'(1)(X-1)+\frac{f''(1)}{2!}(X-1)^2+\frac{f'''(1)}{3!}(X-1)^3+...+\frac{f^{(2019)}}{2019!}(X-1)^{2019}

因为$f(1)=0$，$f'(1)=0$，所以$f(X)$可以写成$(X-1)^2$乘以剩下的泰勒级数部分。计算$f''(1)$：

f''(X)=2018×2019×2018X^{2017} -2019×2018×2017X^{2016}

代入$X=1$得$f''(1)=2018×2019×(2018-2017)=2018×2019$，后续泰勒展开的各项系数对应商式的不同次项，虽然这个方法稍复杂，但也是一种不用长除法的思路。

总的来说，系数递推法是最直接优雅的，只需要通过对比系数得到递推关系，就能快速推出商式的所有系数，完全不用硬算长除法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Morărescu Mihnea