可由紧支集光滑测试函数导数进行L¹逼近的函数的分类问询

嘿，这个问题问得很到位！咱们先从已知的点出发，再一步步拓展到更完整的分类：

首先，你提到$H_0^{1(I)$中元素的导数满足这个$L}1$逼近条件，这点没错，但其实这个范围可以再放宽——所有满足积分均值为0的$L^{1(I)$函数，都能被$C_0}\infty(I)$中函数的导数$L^1$逼近；反过来，能被这样逼近的函数也一定满足积分均值为0。换句话说，这是个充要条件，咱们来拆解一下：

必要条件：积分必须为0 #

假设存在$\varphi_n \in C_0^\infty(I)$，使得$|\varphi_n' - f|_1 \to 0$。因为$\varphi_n$是紧支集在$I=[a,b]$上的光滑函数，所以$\varphi_n(a)=\varphi_n(b)=0$。对$\varphi_n'$积分的话，$\int_I \varphi_n'(x)dx = \varphi_n(b) - \varphi_n(a) = 0$。当$n\to\infty$时，左边的极限就是$\int_I f(x)dx$，所以必然有$\int_I f(x)dx = 0$。

充分条件：积分0的$L^1$函数都能被逼近 #

反过来，如果$f \in L^1(I)$且$\int_I f(x)dx=0$，咱们可以构造出满足条件的$\varphi_n$：

• 先取光滑紧支集的软化子$\rho_n$，做$f$的光滑逼近$f_n = \rho_n * f$，这样$f_n \in C_0^\infty(\mathbb{R})$，且$f_n \to f$ in $L^1(I)$，同时$\int_I f_n(x)dx = \int_I f(x)dx = 0$。
• 定义$\varphi_n(x) = \int_a^x f_n(t)dt$，因为$\int_I f_n(t)dt=0$，所以$\varphi_n(b)=0$，$\varphi_n(a)=0$；又因为$f_n$的支集在$I$的内部（软化子的特性），所以$\varphi_n$在$I$的端点附近恒为0，也就是$\varphi_n \in C_0^\infty(I)$。
• 显然$\varphi_n' = f_n$，而$f_n\to f$ in $L^1$，所以$|\varphi_n' - f|_1 \to 0$，完美满足要求。

和$H_0^1(I)$导数的关系 #

你提到的$H_0^{1(I)$的导数，其实是这个集合的一个子集：$H_0}1(I)$中的函数$u$的导数$u'$属于$L^2(I)$，同时因为$u$在$I$端点处为0，所以$\int_I u'(x)dx=0$，自然满足咱们的充要条件。但咱们的分类涵盖了所有$L^{1$中积分0的函数，包括那些不在$L}2$里的函数，范围更广。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_is_fun