移位函数与狄拉克δ函数的卷积结果咨询

嘿，我来帮你理清楚这个卷积问题～首先咱们先回到卷积的核心定义，卷积的公式是：
$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$

现在把你的问题代入，也就是计算 $f(t-a)*δ(t-a)$，按照定义展开的话就是：
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau - a) \cdot δ(t - \tau - a) d\tau$$

接下来咱们做个变量替换，令 $u = \tau - a$，那 $\tau = u + a$，代入后积分就变成：
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \cdot δ(t - (u+a) - a) du = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) \cdot δ(t - u - 2a) du$$

根据狄拉克δ函数的筛选性质——$\int_{-\infty}^{\infty} f(u)δ(u - c)du = f(c)$，这里可以把$δ(t - u - 2a)$改写为$δ(u - (t - 2a))$，所以积分结果就是$f(t - 2a)$。

你之前的思路有点小误区哦：卷积里的δ函数是对输入的“移位参数”起作用的，不是直接看两个函数当前的移位位置。简单说，$f(t-a)$本身是$f(t)$向右移了$a$，再和$δ(t-a)$卷积，相当于把这个已经移位的函数再沿着时间轴向右移$a$，所以最终是移了$2a$的$f(t-2a)$，而不是保持$f(t-a)$不变～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jonny Xay