关于嵌套卷积的拉普拉斯变换推导合理性的问询

提问内容： #

在我的研究中，我遇到了如下式子：
$$p(t) = f(t) + f(t) * g(t) + f(t) * g(t) * g(t) + f(t) * g(t) * g(t) * g(t) ...$$

其中$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换已知，$*$表示卷积运算：
$$ \int_0^t{f(t)g(t-s)ds} $$

我是否可以将函数$p(t)$的拉普拉斯变换写成这样？
$$ P(s) = F(s) + F(s)G(s) + F(s)G(s)G(s) + F(s)G(s)G(s)G(s)+ \cdots$$

进而：
$$ P(s) = F(s)G(s)^0 + F(s)G(s)^1 + F(s)G(s)^2 + F(s)G(s)^3+ \cdots$$

于是：
$$ P(s) = F(s)\sum_{n=0}^{{\infty}{G(s)}n} $$

这是不是一个不严谨的简化？

谢谢

解答： #

嗨，你的推导完全是合理且严谨的，前提是满足一个关键条件：$\sum_{n=0}^{\infty}G(s)n$这个无穷级数是收敛的。

我们来一步步拆解验证：

• 首先，拉普拉斯变换的核心性质之一就是卷积定理：两个函数卷积的拉普拉斯变换等于它们各自拉普拉斯变换的乘积，也就是$\mathcal{L}{f(t)*g(t)}=F(s)G(s)$。
• 对于多重卷积，比如$f(t)*g(t)g(t)$，可以先将后两个$g(t)$的卷积视为一个整体，根据卷积定理递推可得：$\mathcal{L}{f(t)(g(t)*g(t))}=F(s)\cdot\mathcal{L}{g(t)*g(t)}=F(s)\cdot[G(s)]^{2$。以此类推，n次$g(t)$与$f(t)$的多重卷积的拉普拉斯变换就是$F(s)[G(s)]}n$。
• 拉普拉斯变换是线性变换，满足可加性与齐次性，因此无穷级数的拉普拉斯变换等于拉普拉斯变换的无穷级数（只要级数收敛），也就是：
  $$\mathcal{L}\left{\sum_{n=0}^{{\infty}f(t)*\underbrace{g(t)*\cdots*g(t)}_{n次}\right}=\sum_{n=0}}{\infty}\mathcal{L}\left{f(t)\underbrace{g(t)\cdots*g(t)}{n次}\right}=\sum{n=0}^{{\infty}F(s)[G(s)]}n$$

当$|G(s)|<1$（在复平面的某个收敛区域内）时，这个几何级数会收敛到$\frac{1}{1-G(s)}$，此时$P(s)$还可以进一步简化为$\frac{F(s)}{1-G(s)}$。

如果不满足收敛条件，这个无穷级数就会发散，那你最后一步合并级数的推导就不成立，但前面将$p(t)$的拉普拉斯变换展开成级数形式的步骤依然是成立的——只要每一项的拉普拉斯变换都存在。

总结一下：你的推导在级数收敛的前提下是完全严谨的，并非不恰当的简化~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者eB_Bo