关于连续函数满足f(x)=f(e^t x)时为常函数的证明方法正确性验证

看起来你的思路完全正确，而且通过先证明更一般的结论再套用到原题的方式非常巧妙！咱们来一步步确认你的推导：

你的核心思路：先证更一般的结论 #

你提出的核心结论是：若连续函数$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$满足$f(x)=f(ax)$对所有$x\in\mathbb{R}$成立，且$|a|\neq1$，则$f$是常函数。这个结论本身是成立的，你的分情况讨论也逻辑严谨：

Case 1: $a=0$ #

这情况确实很直接，对任意$x\in\mathbb{R}$都有$f(x)=f(0)$，显然$f$就是常函数，没毛病。

Case 2: $0<a<1$ #

你通过迭代得到$f(x)=f(a^n x)$，然后利用连续性把极限移到函数内部：
$$\lim_{n\to\infty}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(a^{nx)=f\left(\lim_{n\to\infty}a}nx\right)=f(0)$$
因为$0<a<1$时$a^n x$趋向于0，所以最终得到$f(x)=f(0)$对所有$x$成立，这个推导完全正确。

Case 3: $a>1$ #

这里你换了个思路，取$f(x)=f\left(\frac{x}{a^{n}\right)$，当$n\to\infty$时$\frac{x}{a}n}$趋向于0，同样利用连续性就能得到$f(x)=f(0)$，和Case2的逻辑一致，没问题。

Case 4: $-1<a<0$ #

你想到取偶数次幂$a^{{2n}$，这样$a}{2n}$是正的且趋向于0，避免了奇数次幂正负交替的问题，再通过迭代和连续性得到$f(x)=f(0)$，这个细节处理非常到位，逻辑通顺。

Case 5: $a<-1$ #

类似地，你取$\frac{x}{a^{{2n}}$，因为$|a|>1$，所以$a}{2n}$趋向于正无穷，$\frac{x}{a^{2n}}$趋向于0，再用连续性得到$f(x)=f(0)$，推导正确。

回到原题的应用 #

原题中给出$f(x)=f(e^t x)$对所有$x\in\mathbb{R}$和$t≥0$成立，我们只需要取任意一个$t>0$（比如$t=1$），就能得到$f(x)=f(e x)$，而$e>1$，正好符合你证明的一般结论里$a>1$的情况，所以直接就能推出$f$是常函数，这个应用完全没问题。

总的来说，你的方法不仅正确，而且通过推广结论的方式让问题变得更清晰，这种从一般到特殊的思路非常值得肯定！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aqualubix