带通配符的图案匹配游戏奖金线数量预期增量计算问题

Hello and thanks in advance.

我正在解决一个图案匹配游戏的问题：

游戏棋盘是一个5×5的数字网格，规则如下：

• 第1列（最左侧）的5个数字来自1-15的随机数池
• 第2列来自16-30的数池，以此类推，第5列来自61-75的数池
• 这和传统75球宾果卡类似，但中心格子有数字（宾果里通常是星号，不过这对当前问题无关）

一个示例棋盘如下：

[5]  [26] [43] [54] [75]
[13] [23] [39] [46] [72]
[12] [21] [33] [59] [71]
[10] [29] [34] [60] [67]
[8]  [18] [40] [55] [65]

需要匹配的图案和75球宾果的奖金线完全一致，共有12种：

• 5条水平线（比如5→26→43→54→75）
• 5条垂直线（比如43→39→33→34→40）
• 2条对角线（比如5→23→33→60→65）

游戏流程：玩家有若干回合（回合数不影响当前问题），每回合从每个列的专属数池中各抽取1个数字（每回合抽5个数字）。目标是尽可能多地完成奖金线，完成数量越多得分越高。

我需要计算单回合内奖金线完成数量的预期增量，希望得到一个公式或步骤，能从任意棋盘状态（比如玩家已经标记了一半数字的中途状态）计算这个期望值。

之前我在数学社区提问，有大佬（特别感谢Timothy）建议我在这里提问，同时给出了一个方法：遍历所有未完成的奖金线，计算每条线在当前回合被完成的概率，然后把这些概率相加，得到预期增量。

这个方法在数池只有对应列范围内的数字时完全有效，哪怕数池分布不平衡也能得到正确结果。但当我引入能匹配列内任意数字的通配符*后，用这个方法算出的概率总和和实际暴力枚举的预期值完全不符。

下面我用简化的小棋盘示例分别展示三种情况：

示例1：平衡数字池下的成功验证 #

我把棋盘缩小到2×2（4个格子），数池只包含棋盘上的数字：

[1] [3]
[x] [4]

• 第1列数池：1,2
• 第2列数池：3,4

预先标记了左下角的格子（原数字是2），此时没有完成的奖金线，剩余6条未完成的线（2横、2竖、2斜）。

先暴力枚举所有4种可能的抽取组合，统计每种组合完成的新增奖金线数量：

• 1,3 → 新增3条
• 1,4 → 新增3条
• 2,3 → 新增1条
• 2,4 → 新增1条

手动计算预期增量：(3+3+1+1)/4 = 2.0

再用上述方法计算每条未完成线的完成概率并求和：

• 线1→3：½ × ½ = 0.25
• 线2→4：½ = 0.5
• 线1→2：½ = 0.5
• 线3→4：0
• 线1→4：½ × ½ = 0.25
• 线2→3：½ = 0.5

概率总和为2.0，和手动计算的预期值完全一致，哪怕多条线的完成是互斥的。

示例2：非平衡数字池下的成功验证 #

现在棋盘扩大到3×3（9个格子），数池如下：

[1] [4] [7]
[2] [5] [8]
[3] [6] [9]

• 第1列数池：1,2,3
• 第2列数池：4,5,6
• 第3列数池：7,8,9,9（包含两个9，分布不平衡）

预先标记了中间的竖直线，剩余7条未完成的奖金线。

暴力枚举所有36种抽取组合（3×3×4），统计新增完成线数量（括号内为新增数量）：

147(1),148(0),149(1),149(1),157(1),158(0),159(1),159(1),167(1),168(0),169(1),169(1)
247(0),248(1),249(0),249(0),257(0),258(1),259(0),259(0),267(0),268(1),269(0),269(0)
347(1),348(0),349(1),349(1),357(1),358(0),359(1),359(1),367(1),368(0),369(1),369(1)

手动计算预期增量：21/36 ≈ 0.58333

用上述方法计算每条未完成线的完成概率并求和：

• 线1→4→7：⅓ × ¼ ≈ 0.08332
• 线2→5→8：⅓ × ¼ ≈ 0.08332
• 线3→6→9：⅓ × ½ ≈ 0.16667
• 线1→2→3：0（单回合无法完成）
• 线7→8→9：0（单回合无法完成）
• 线1→5→9：⅓ × ½ ≈ 0.16667
• 线3→5→7：⅓ × ¼ ≈ 0.08332

概率总和≈0.5833，和手动计算的预期值几乎一致（精度问题导致微小差异）。

示例3：引入通配符后的计算偏差问题 #

现在保持3×3棋盘不变，把第3列数池的一个9换成通配符*（*可以匹配该列任意数字）：

• 第3列数池：7,8,9,*

再次暴力枚举36种组合，统计新增完成线数量：

147(1),148(0),149(1),14*(1),157(1),158(0),159(1),15*(1),167(1),168(0),169(1),16*(1)
247(0),248(1),249(0),24*(1),257(0),258(1),259(0),25*(1),267(0),268(1),269(0),26*(1)
347(1),348(0),349(1),34*(1),357(1),358(0),359(1),35*(1),367(1),368(0),369(1),36*(1)

手动计算预期增量：24/36 ≈ 0.66667

但用之前的方法计算每条线的完成概率并求和时，结果完全不符：

• 线1→4→7：⅓ × ½ ≈ 0.16667
• 线2→5→8：⅓ × ½ ≈ 0.16667
• 线3→6→9：⅓ × ½ ≈ 0.16667
• 线1→2→3：0
• 线7→8→9：0
• 线1→5→9：⅓ × ½ ≈ 0.16667
• 线3→5→7：⅓ × ½ ≈ 0.16667

概率总和≈0.83335，和手动计算的0.66667相差很大。

我想请教：为什么通配符和重复数字的计算结果差异这么大？我知道通配符能匹配任意数字，但为什么两种方法会产生分歧？

如果有不需要暴力枚举就能计算这个期望值的替代方法，我也非常乐意了解！

感谢阅读，提前感谢各位的建议！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daisy Day