关于可积函数乘积的可积性问题——基于Munkres《流形上的分析》中广义积分定义的探讨

嘿，我最近在读James R. Munkres的《Analysis on Manifolds》，里面给出了连续函数的广义积分定义，具体内容如下：

定义：设$A$是$\mathbb{R}^n$中的开集；$f:A\to\mathbb{R}$是连续函数。若$f$在$A$上非负，则我们定义$f$在$A$上的（广义）积分$\int_A f$为所有$\int_D f$的上确界，其中$D$遍历$A$的所有紧致Jordan可测子集（注：原文中“Rectificable”指Jordan可测），当这个上确界存在时，我们称$f$在$A$上（广义）可积。更一般地，若$f$是$A$上任意连续函数，令
$$f_{+}(x)=\max{f(x),0}\text{ 和 }f_{-}(x)=\max{-f(x),0}.$$
我们称$f$在$A$上（广义）可积当且仅当$f_+$和$f_-$都在$A$上（广义）可积；此时定义
$$\int_A f=\int_A f_{+}-\int_A f_{-},$$
这里的$\int_A$全程指广义积分。

我现在遇到一个问题：如果$f$和$g$都是开集$A$上的广义可积函数，那么它们的乘积$fg$是否也在$A$上广义可积呢？我的直觉告诉我答案是肯定的，一开始我尝试用下面这个定理来推导：

定理：设$A$是$\mathbb{R}^n$中的开集；$f : A\rightarrow\mathbb{R}$是连续函数。选取一列紧致Jordan可测子集$C_N$满足$\bigcup_{N}C_N=A$，且对每个$N$有$C_N\subseteq\text{int}(C_{N+1})$。那么$f$在$A$上广义可积当且仅当序列$\left{\int_{C_N} |f|\right}$有界。此时有
$$\int_{A} |f| = \lim_{N\to\infty}\int_{C_N} |f|$$

不过我卡在了关键一步：不确定怎么证明序列$\left{\int_{C_N} |fg|\right}$是有界的（如果它真的有界的话）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jorge S.