关于Le Gall引理5.14中事件$B \subset C$几乎必然成立的推导疑问（基于二次变分近似定理）

嘿，我来帮你把这个推导理得明明白白的～

首先先明确两个核心事件的定义：

• $B = {M_t = M_a, \forall t \in [a,b]}$：简单说就是在区间$[a,b]$上，局部鞅$M$的样本路径完全是常数，一点都没有波动。
• $C = {\langle M,M\rangle_b = \langle M,M\rangle_a}$：表示二次变分在$a$到$b$这段区间里没有任何增长。

现在我们结合定理4.9的二次变分近似来推导$B \subset C$几乎必然成立：

定理4.9告诉我们，对于任意固定的$t$，当$[0,t]$的分割网格趋于0时，分割对应的平方和$\sum_{i=1}^{p_n}(M_{t_in} - M_{t_{i-1}^n})2$依概率收敛到$\langle M,M\rangle_t$。另外，依概率收敛的序列必然存在一个子列是几乎必然收敛的，这是概率收敛的基本性质，我们后面会用到这个子列。

现在聚焦事件$B$上的样本点：
对任意分割$0=t_0^n < t_1^n < \dots < t_{p_n}^n = b$，我们把平方和拆成两部分：
$$\sum_{i=1}^{p_n}(M_{t_in} - M_{t_{i-1}^n})2 = \sum_{t_{i-1}^n < a}(M_{t_i^n} - M_{t_{i-1}^n})2 + \sum_{t_{i-1}^n \geq a}(M_{t_i^n} - M_{t_{i-1}^n})2$$
在事件$B$上，后一部分的每一项都是0——因为当$t_{i-1}^n \geq a$时，$M_{t_i^{n}=M_a$且$M_{t_{i-1}}n}=M_a$，两者的差为0，平方自然也是0。而前一部分正好就是$[0,a]$上对应分割的平方和（当分割网格足够小时，最后一个小于$a$的分割点会无限接近$a$，这个近似的误差会趋于0）。

也就是说，在事件$B$上，对每个$n$都有：
$$\sum_{i=1}^{p_n}(M_{t_in} - M_{t_{i-1}^n})2 = \sum_{i: t_{i-1}^n < a}(M_{t_i^n} - M_{t_{i-1}^n})2$$
左边的序列依概率收敛到$\langle M,M\rangle_b$，右边的序列依概率收敛到$\langle M,M\rangle_a$。

接下来取那个几乎必然收敛的子列：对于$B$中的几乎所有样本点，子列的左边会几乎必然趋近于$\langle M,M\rangle_b$，右边会几乎必然趋近于$\langle M,M\rangle_a$。但因为每个$n$对应的左边和右边都相等，它们的极限也必须相等，也就是$\langle M,M\rangle_b = \langle M,M\rangle_a$——这正好就是事件$C$的定义。

所以这就说明，$B$中的几乎所有样本点都属于$C$，也就是$B \subset C$几乎必然成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Analyst