如何区分二维球面$S^2$的切丛与$S^2\times y-z$平面乘积丛？相关示性类的疑问

你这个直觉完全正确——$S^{2$的切丛和那个“每个点附着一个yz平面”的乘积丛（也就是平凡丛$S}2\times\mathbb{R}^2$）确实是不同构的向量丛。

要区分它们，欧拉示性类（Euler class）就是最直接的工具，刚好能补上Pontryagin类在这里的“失效”：

• 首先看乘积丛：它是平凡向量丛，而任何平凡实向量丛的欧拉示性类都是0，因为平凡丛可以找到处处非零的截面，欧拉类本质上衡量的是“是否存在处处非零截面”的障碍，平凡丛自然没有这个障碍。
• 再看$S^{2$的切丛：对于定向流形的切丛，它的欧拉示性类等于流形本身的欧拉示性数。$S}2$的欧拉示性数是2（毕竟它是亏格0的闭曲面，公式$2-2g=2$），所以切丛$TS^{2$的欧拉类$e(TS}2)=2\in H^2(S2;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$。

这两个欧拉类一个是0，一个是2，显然不相等，而欧拉类是向量丛的同构不变量，所以这两个丛肯定不同构。

至于你提到的Pontryagin类为什么都为0：这是因为Pontryagin类$p_1$属于4维上同调群$H^4(S2;\mathbb{Z})$，但$S^2$的4维上同调群是平凡群（只有0元素），不管是切丛还是乘积丛，它们的Pontryagin类都只能是0，所以这个示性类在这里确实没法帮我们区分两者。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex