关于鲁丁《实分析与复分析》（Rudin’s RCA）中傅里叶级数收敛性问题的有界线性泛函相关疑问

嘿，我来帮你把这两个点掰扯清楚，其实核心就是线性泛函的定义和有界性判定的基本逻辑，咱们一步步来：

首先说为什么每个$\Lambda_n$是$C(T)$上的有界线性泛函：
咱们拆成线性性和有界性两部分看：

• 线性性：$\Lambda_n f = s_n(f;0)$，而根据式(1)，它是一个积分：$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)D_n(-t),dt$（这里$D_n$是偶函数，$|D_n(-t)|=|D_n(t)|$，不过这点暂时不影响核心推导）。积分本身是线性算子，也就是说对任意常数$a,b$和连续函数$f,g\in C(T)$，有：
  $$\Lambda_n(af + bg) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(af(t)+bg(t))D_n(-t),dt = a\Lambda_n f + b\Lambda_n g$$
  完全满足线性泛函的线性要求。
• 有界性：有界线性泛函的定义是存在一个常数$M$，使得对所有$f\in C(T)$，都有$|\Lambda_n f| \leq M|f|\infty$（$|f|\infty$是$C(T)$上的上确界范数，即$\sup_{t\in[-\pi,\pi]}|f(t)|$）。接下来的推导会直接给出这个$M$，也就是你疑惑的那个积分表达式。

然后说为什么有不等式$|\Lambda_n| \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|D_n(t)|dt$：
首先回忆线性泛函范数的定义：
$$|\Lambda| = \sup\left{ |\Lambda f| \mid f\in C(T), |f|\infty \leq 1 \right}$$
咱们先推导$|\Lambda_n f|$的上界：
根据积分的三角不等式，对任意$f\in C(T)$，有：
$$|\Lambda_n f| = \left| \frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^{\pi}f(t)D_n(-t),dt \right| \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)| \cdot |D_n(-t)| dt$$
利用复数模的性质$|D_n(-t)|=|D_n(t)|$，上式可简化为：
$$|\Lambda_n f| \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)| \cdot |D_n(t)| dt$$
又因为$|f|\infty = \sup|f(t)|$，所以对所有$t\in[-\pi,\pi]$，$|f(t)| \leq |f|\infty$，代入后得到：
$$|\Lambda_n f| \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|\infty \cdot |D_n(t)| dt = |f|\infty \cdot \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|D_n(t)| dt$$
当$|f|\infty \leq 1$时，$|\Lambda_n f| \leq \frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^{\pi}|D_n(t)| dt$。根据泛函范数的定义，$|\Lambda_n|$是所有满足$|f|\infty \leq1$的$|\Lambda_n f|$的上确界，自然就有：
$$|\Lambda_n| \leq \frac{1}{2\pi}\int{-\pi}^{\pi}|D_n(t)| dt$$
（补充一句：这个不等式其实是等号成立的，你可以构造逼近符号函数的连续函数，让$|f(t)|$与$D_n(t)$同号，此时积分值会趋近于这个上界，不过鲁丁这里先给出上界就足够支撑后续的Banach-Steinhaus定理应用了）

总结一下，$\Lambda_n$的线性性来自积分的线性性质，有界性来自积分三角不等式加上上确界范数的约束，而那个范数不等式就是从有界性的推导直接得到的~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JohnNash