关于极值错误论断的非常值区间反例问询

先把我们要讨论的这个错误结论明确下来：

设$f:[a,b]\to\mathbb{R}$是连续函数。若点$x_0\in(a,b)$满足存在邻域$N$，使得对所有$x\in N\backslash{x_0}$都有$f(x)<f(x_0)$（注意这里是严格小于号），则称$x_0$为局部最大值点。那么函数在$[a,b]$上的全局最大值点要么是局部最大值点，要么是区间端点$a$或$b$。

这个结论是不成立的，最常见的反例是一段取常数的分段函数：
$$f(x)=\begin{cases}x&x\in [0,1]\1&x\in [1,2]\3-x&x\in [2,3]\end{cases}$$
在这个例子里，$[1,2]$上的每一点都是全局最大值点，但因为定义里要求的是严格小于，这些点都不符合局部最大值点的定义——随便取$[1,2]$里的某个点，它的任何邻域里都有其他点的函数值等于它，没法满足“邻域内所有其他点函数值都严格小于该点”的条件。

现在想请教的问题是：有没有这样的连续函数，它不存在任何常数区间，但依然能成为这个错误结论的反例？

额外提一句背景：这个错误结论居然出现在不少国内初中教材里，而且一直没得到修正。有意思的是，高考中的导数相关题目基本不会涉及带有常数区间的函数，所以才会有人关注能不能找到不含常数区间的反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pzq_alex