满足特定近根模长条件的整系数不可约非分圆多项式的分类问询

我们来梳理这个问题的核心诉求：
给定一个n次整系数不可约非分圆多项式$f(z)$，考虑复平面上任意非实复数$v$，取$z_0$是距离$v$最近的$f(z)$的根（即$f(z_0)=0$）。我们需要找出所有这样的多项式$f(z)$，使得存在某个非实复数$v$，满足这个最近根$z_0$的模长为1（也就是$z_0$落在单位圆上）。

可探索的分析方向 #

• 单位圆复数的三角形式转化：
  既然$z_0$在单位圆上，我们可以借助棣莫弗公式将其表示为$z_0 = \cos(w) + i\sin(w)$（其中$w$为实数），代入多项式方程后得到：
  $$f(\cos(w) + i\sin(w)) = 0$$
  这等价于寻找实数$w$满足该等式，将多项式展开后可拆分为实部和虚部两个独立的多项式方程，或许能从中推导出关于$f(z)$系数的约束。

• 切比雪夫多项式的辅助拆分：
  切比雪夫多项式$T_n(x)$具有性质$T_n(\cos(w)) = \cos(nw)$，结合单位圆复数的实、虚部拆分，我们可以把$f(z)$转化为关于$\cos(w)$和$\sin(w)$的多项式方程组，这能将复域问题转化为实域的多项式求解问题，更便于结合整系数的限制条件进行分析。

• 极小多项式与代数数论视角：
  由于$f(z)$是整系数不可约多项式，它本质上就是$z_0$在有理数域上的极小多项式。而$z_0$是单位圆上的非分圆代数数，我们可以结合代数数论中关于单位圆上代数数的性质——比如除分圆多项式根之外的单位圆代数数，其极小多项式需满足哪些特征——再结合“存在非实$v$使得$z_0$是离$v$最近的根”这个距离条件，进一步缩小多项式的范围。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mick