概率大O项比值的收敛性证明疑问

我现在遇到这么一个概率渐近分析的问题：假设常数 $v \in \mathbb{R}$，$w > 0$，并且当 $n \to \infty$ 时，$a_n \to 0$，$b_n \to 0$。我想证明下面这个结论：

$$
\frac{v+O_p(a_n)}{w+O_p(b_n)}=\frac{v}{w}+O_p(a_n)
$$

这里我们预先假设对所有的 $n$，$w+O_p(b_n)\neq 0$。不过我目前也不确定这个结论是不是真的成立，先说说我自己尝试的推导过程：

设 $Y_n =O_p(b_n)$，$X_n = O_p(a_n)$，我们需要证明的等价命题是：

$$
\frac{v+X_n}{w+Y_n}-\frac{v}{w}=\frac{wX_n-vY_n}{w(w+Y_n)} \in O_p(a_n)
$$

因为 $Y_n \in O_p(b_n)$ 且 $b_n \to 0$，所以显然 $Y_n \in o_p(1)$，也就是 $Y_n$ 依概率收敛到0。那我们取 $0 < \epsilon < w$，然后对概率做如下放缩：

\begin{align}
P\left( \left| \frac{wX_n-vY_n}{w(w+Y_n)} \right| > Ca_n \right) &\leq
P\left( \left| \frac{wX_n}{w(w-\epsilon)} \right| +\left| \frac{vY_n}{w(w-\epsilon)} \right| > Ca_n,|Y_n| \leq \epsilon \right)+P(|Y_n| > \epsilon) \
&\leq P\left( \left| X_n \right| > CK_1 a_n \right) + P\left( \left| Y_n \right| > CK_2 a_n \right)+P(|Y_n| >\epsilon)
\end{align}

我们需要当 $n \to \infty$ 再让 $C \to \infty$ 时，上面这个表达式收敛到0。其中第一项和最后一项确实都会趋近于0，但问题出在中间这个项：

$$
P\left( \left| Y_n \right| > CK_2 a_n \right)
$$

我觉得只有当 $Y_n \in O_p(a_n)$ 时，这个项才会收敛到0。而因为 $Y_n \in O_p(b_n)$，这就要求 $b_n = O(a_n)$ 才行。所以我的核心疑问是：如果没有 $b_n = O(a_n)$ 这个额外条件，最开始的那个结论还能成立吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Abm