如何将III型矩阵表示为I型矩阵的乘积？

首先咱们先明确几个关键定义，避免混淆：

• I型矩阵：就是初等行加变换对应的矩阵，记作$T_{ij}(c) = I + cE_{ij}$（其中$i≠j$，$c∈R$），这类矩阵的行列式恒为1，属于$SL_n(R)$。
• III型矩阵：是把某一行乘以单位$u$（$u$是$R$中可逆元）的矩阵，记作$D_i(u) = I + (u-1)E_{ii}$。单个III型矩阵的行列式是$u≠1$（除非$u=1$），所以它本身不在$SL_n(R)$里——你说得对，必须搭配另一个$D_j(u^{{-1})$（把第$j$行乘以$u}{-1}$），这样乘积$D_i(u)D_j(u^{{-1})$的行列式是$u·u}{-1}=1$，才属于$SL_n(R)$。

接下来咱们具体看怎么把$D_i(u)D_j(u^{-1})$（$i≠j$）写成I型矩阵的乘积，先从简单的$n=2$情况入手，再推广到一般的$n≥2$：

例子：$n=2$时的构造 #

目标是把$\begin{pmatrix}u & 0 \0 & u^{-1}\end{pmatrix}$分解为I型矩阵的乘积，这里有个直观的构造方式：
$$
\begin{pmatrix}u & 0 \0 & u^{-1}\end{pmatrix} = T_{12}(1) T_{21}(u-1) T_{12}(-u^{-1}) T_{21}(1-u)
$$
咱们可以一步步验证这个乘积的效果：

1. 先执行$T_{21}(1-u)$：把第1行的$(1-u)$倍加到第2行；
2. 再执行$T_{12}(-u^{{-1})$：把第2行的$-u}{-1}$倍加到第1行；
3. 接着执行$T_{21}(u-1)$：把第1行的$(u-1)$倍加到第2行；
4. 最后执行$T_{12}(1)$：把第2行加到第1行。
   通过这一系列行加操作，就能消去所有非对角元，得到目标对角矩阵。

推广到$n≥2$的情况 #

对于任意$i≠j$，构造$D_i(u)D_j(u^{-1})$的I型分解逻辑是一致的：

• 先用$T_{ij}(1)$把第$j$行加到第$i$行，让第$i$行带上第$j$行的因子；
• 再用$T_{ji}(k)$（选合适的$k∈R$）调整第$j$行，让第$j$行的系数变为$u^{-1}$；
• 接着用$T_{ij}(m)$把第$j$行的负倍数加回第$i$行，消去第$i$行的非对角元；
• 最后用$T_{ji}(n)$调整第$j$行的非对角元，得到纯对角矩阵。

核心思路是：I型矩阵能实现行之间的线性组合，通过这种组合，我们可以把一个行的单位因子“转移”到另一个行，同时全程保持行列式为1。而你已经知道偶置换对应的II型矩阵可以写成I型矩阵的乘积，所以哪怕需要交换行辅助构造，也能完全用I型矩阵替代。

从群生成的角度来说，既然$SL_n(R)$由I型矩阵生成，那么任何$SL_n(R)$中的元素（包括$D_i(u)D_j(u^{-1})$）都一定能表示为I型矩阵的乘积，上面的构造只是把这个抽象结论落地成了具体操作。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michael Wang-Wakamatsu