有限维复内积空间中投影算子正规性与正交投影等价性的证明疑问

嗨，我来帮你理清这个推导的关键步骤！你已经抓住了核心已知条件：$P$是投影（即$P^{2=P$）且是正规算子（即$P}P=PP^$），现在要推导出$P$是正交投影（也就是满足$\langle Pu, v\rangle = \langle u, Pv\rangle$，等价于$P=P^*$）。咱们可以从几个角度来推导，选你觉得直观的那个就行：

方法一：利用正规算子的核空间性质 #

首先回忆正规算子的一个重要结论：有限维复内积空间上的正规算子$T$，满足$\text{Ker}(T)=\text{Ker}(T^*)$。这个结论的证明很直接：
$$|Tx|^2 = \langle Tx, Tx\rangle = \langle T^*Tx, x\rangle = \langle TT^*x, x\rangle = |T^*x|2$$
所以$Tx=0$当且仅当$T^*x=0$，也就是核空间和伴随算子的核空间完全重合。

对于投影$P$，我们知道$V = \text{Im}(P) \oplus \text{Ker}(P)$，同时内积空间中还有$\text{Im}(P)^\perp = \text{Ker}(P^*)$（这是内积空间伴随算子的基本性质：像空间的正交补是伴随算子的核）。

结合正规算子的结论$\text{Ker}(P)=\text{Ker}(P^{*)$，就能得到$\text{Im}(P)}\perp = \text{Ker}(P)$——这正是正交投影的核心特征：像空间和核空间正交。而满足$P^2=P$且$\text{Im}(P) \perp \text{Ker}(P)$的投影就是正交投影，同时这也等价于$P=P^*$，自然满足你要证明的内积等式$\langle Pu, v\rangle = \langle u, Pv\rangle$。

方法二：利用谱定理（直观的矩阵视角） #

有限维复内积空间上的正规算子可以正交对角化，这是谱定理的结论。而投影算子的特征值只能是0或1（因为$P^{2=P$，对特征值$\lambda$有$\lambda}2=\lambda$，解得$\lambda=0$或1）。

所以存在$V$的一组标准正交基，使得$P$在这组基下的矩阵是对角矩阵，对角元只有0和1。那$P^{*$在同一组基下的矩阵就是这个对角矩阵的共轭转置——显然还是同一个对角矩阵，所以$P}*=P$，即$P$是自伴算子，结合$P^2=P$，就说明$P$是正交投影，自然满足内积的对称性要求。

补充：纯代数推导 #

如果你偏好纯代数运算，也可以这么做：
因为$P^{2=P$，两边取伴随得$(P})^2=P$，即$P^$也是投影。
又因为$P$正规，所以$PP^*=PP$，我们计算$(P-P^*)$与$(P-P^)$的内积：
$$\langle (P-P^)u, (P-P^)u\rangle = \langle (P^*-P)(P-P)u, u\rangle$$
展开后利用$PP^*=PP$、$P^2=P$和$(P)^2=P$化简，最终会发现这个内积对所有$u$都等于0，因此$P-P^{*=0$，即$P=P}*$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hermi