有限维向量空间中正算子平方根的自伴性判定问题

嘿，这个问题问到点子上了，咱们来仔细拆解一下：

首先直接给结论：这个陈述是不成立的——也就是说，存在有限维向量空间上的正算子 ( T )，以及非自伴的线性算子 ( S )，满足 ( S^2 = T )。

为什么会这样？ #

先回忆两个关键知识点：

• 有限维空间里，正算子的定义是自伴且所有特征值非负的线性算子；
• 正算子有唯一的正平方根（即满足 ( S^2=T ) 的自伴且特征值非负的算子 ( S )），但这并不代表 ( T ) 的平方根只有这一个。

举个具体的反例 #

拿二维复向量空间 ( \mathbb{C}^2 ) 来说，我们构造这样一个算子 ( S )：
[
S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix}
]
先计算 ( S^2 )：
[
S^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \ \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 \ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}
]
显然 ( S^2 ) 是一个正算子（它是正标量 ( \frac{1}{4} ) 乘单位阵，自伴且特征值都是非负的）。但看看 ( S ) 是否自伴：( S ) 的伴随算子 ( S^* ) 是
[
S^* = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{4} \ 1 & 0 \end{pmatrix}
]
显然 ( S \neq S^* )，也就是 ( S ) 不是自伴的。这就完美构成了反例。

再聊聊你提到的极分解 #

你提到用极分解来思考，其实正算子 ( T ) 的极分解很简单：因为 ( T ) 自伴且非负，它的极分解就是 ( T = I \cdot T )（( I ) 是单位算子）。而你看到的类似问题，是说“存在自伴的 ( S ) 使得 ( S^2 = T^*T )”——这其实就是在说正算子 ( T^*T ) 的唯一正平方根，和咱们当前的问题不一样：当前问题是问所有满足 ( S^2=T ) 的 ( S ) 是否都自伴，答案显然是否定的，因为我们找到了非自伴的例子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hermi