关于多项式（含n次二元齐次多项式）有界性的充要条件问询

我最近在研究二元多项式的有界性问题——具体来说，是要找到多项式不会无限增大的充要条件，也就是存在某个常数$B$，使得多项式的值永远不超过$B$。我先从二次齐次多项式入手试了试，过程中遇到了一些困惑，想请教下大家更普适的结论。

先说说二次的情况：
我考虑的二次齐次多项式是：
$$P(x,y) = a x^2 + b x y + c y^2$$

首先我自己推导了几个必要条件：

• 必须满足$a \le 0$且$c \le 0$。不然的话，如果$a>0$，我固定$y=0$，让$x$取任意大的值，$P(x,y)$就会趋向无穷大；同理$c>0$时固定$x=0$，$y$取大值也会让多项式无限增大。
• 当我令$x=y$时，多项式变为$a + b + c$，要让它不趋向无穷大，就得有$a + b + c \le 0$，也就是$b \le -a - c$。

但很快我发现这些条件还不够充分。比如我取$b=-a-c$、$a=0$、$c=-1$时，固定$y=0$，$P(x,y)$就变成了$x^2/2$，这显然还是会无限增大，说明之前的条件不足以保证有界性。

后来我用Mathematica做了个尝试：假设$x^2 + y^2 \le 1$，去求这个二次多项式的最大值，得到的结果是$\left(\sqrt{(a-c)^2 + b^2}+a+c\right)/2$。这让我猜想可能需要满足$|b| \le 2\sqrt{ac}$？而且这个条件看起来是充分的：当$b \ge 0$时，根据均值不等式，$b x y \le b \cdot \frac{x^2 + y^2}{2}$，代入多项式后：
$$P(x,y) \le (a + \sqrt{ac})x^2 + (c + \sqrt{ac})y^2$$
因为$a,c \le 0$，$\sqrt{ac}$是非负的，所以$a + \sqrt{ac} \le 0$，$c + \sqrt{ac} \le 0$，这样整个多项式的每一项都是非正的线性组合，自然就有上界了。

现在我想请教两个问题：

1. 对于一般的多元多项式来说，保证它有上界（不会趋向无穷大）的充要条件是什么？
2. 至少对于这种n次二元齐次多项式：
   $$P(x,y) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y + \dots + a_n y^n$$
   它有上界的充要条件是什么？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Ahle