寻找与算子群结构本质不同、同余格与子代数格互为对偶的代数结构

我最近在研究代数结构的同余与子代数关系时，产生了一个疑问：有没有这样的代数结构，它的同余格和子代数格互为对偶，但本质上并不属于“带算子的群”这类结构？

先说说我的动机：我发现子模块和Abel群的子群有很多共通的优良性质，追根溯源，核心原因是每个子模块既是类似“理想/正规子群/同余”的对象，同时又是大模块的子代数。而R-模块本质上就是带算子的Abel群，这就让我好奇，除了这类结构之外，还有没有其他代数结构也具备这种“同余和子代数格对偶”的特性？

先铺垫一些背景概念，方便理解问题：

• 在Abel群中，每个子群都是正规的；
• 对交换环R上的R-模块M来说，子模块和具体商之间存在一一对应的序反转关系。这里我要先定义一下这个非标准的“具体商”概念：代数结构A的具体商是形如$(A, \equiv)$的对，其中$\equiv$是A上的同余关系。举个例子，ℝ[x, y]/(x)和ℝ[x, y]/(y)作为模块的具体商是完全不同的——虽然它们作为抽象代数结构是同构的，但如果允许我们“看穿”内部结构，就能区分开两者；
• 具体商和同余是一一对应的，所以后面我就直接用同余来讨论了。

这种一一对应在一般代数结构里并不成立，哪怕是基于Abel群的结构也不行。比如整数环$\mathbb{Z}$，它只有两个子代数：平凡环和$\mathbb{Z}$本身，但对应的理想（也就是同余的代表）却有无穷多个，按整除关系排序。

我们知道，正规子群、环的理想、模块的子模块，都是对应代数结构同余的“方便代表”——因为它们是大代数定义域的子集，这让我们能很直观地对比子代数和同余/理想/具体商。不过我们也可以暂时抛开同余的具体编码方式，只看**同余格（按包含关系排序）和子代数格（按包含关系排序）**的结构。

在群和R-模块中，这两个格是互为对偶的。这里可以快速验证一下：恒等同关系=是最小的同余（按包含关系），但把Abel群A模掉=得到的商对应的子代数（就是A本身）却是最大的子代数，这说明两者是对偶而非同构的。

回到我的核心问题：有没有这样的代数结构，它的同余格和子代数格互为对偶，但本质上和“带算子的群”完全不同？

这里我得补充说明一下“本质不同”的意思：比如给Abel群加一个总是返回0的47元函数，这种不算——因为这个函数根本没改变结构的本质，只是多了个冗余操作。我也不想纠结于“带算子的群”的严格技术定义（比如是否是定义扩张），因为目前我还没法完美地给出这个限定条件。另外，像四元数群这种“每个子群都正规但非Abel”的群虽然有趣，但不是我这个问题要关注的重点。我也不要求同余和子代数之间的转换必须像Abel群那样简单——比如从同余提取核，或者把核扩展成同余的操作。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Greg Nisbet