关于素数p模下利用∑_{d ∣ p-1} φ(d)与∑_{d ∣ p-1} ψ(d)证明d阶元素存在性的逻辑疑问

我正在读Andrej Dujella的《数论》，在理解素数p模下恰好有$\varphi(d)$个d阶元素这个证明时卡壳了，尤其是其中证明每个$d\mid p-1$都至少存在一个d阶元素的部分。

先把原证明里让我困惑的这段贴出来：

每个数$1,2,3,...,p-1$模p都属于某个指数d（d是$\varphi(p)=p-1$的约数）。我们用$\psi(d)$表示序列$1,2,...,p-1$中属于指数d的元素个数，那么有
$$\sum_{d \mid p-1} \psi(d) = p-1.$$
只需证明：若$\psi(d)\neq 0$，则$\psi(d)=\varphi(d)$。事实上我们知道
$$\sum_{d \mid p-1} \varphi(d)=p-1,$$
所以如果存在某个d使得$\psi(d)=0 < \varphi(d)$，那么$\sum_{d \mid p-1} \psi(d)$就会小于p-1。因此，对所有d都有$\psi(d)\neq 0$。

我的疑问是：这个矛盾推导好像站不住脚啊？我觉得就算有一些d使得$\psi(d)=0$，只要其他的$\psi(d)$能把总和“凑够”到p-1，不也行吗？为什么就能直接得出所有d的$\psi(d)$都不能为0呢？

有没有大佬能帮我理清楚这个逻辑？谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者llin