关于连续三次正面抛掷所需次数的随机变量X的条件期望定义与推导问询

先给大家回顾下背景：设$X$是表示「抛掷公平硬币直到出现连续3次正面所需的次数」的随机变量，原推导过程是这样的：

设$A$为事件「第一次抛掷结果为正面」，那么有
$$
E(X)=E(X\mid A)P(A)+E(X\mid \bar A)P(\bar A)\
=\frac12E(X\mid A)+\frac12(1+E(X))
$$
理由是：已知第一次抛掷为反面时，$X$的期望显然比$E(X)$大1——因为你浪费了一次抛掷。

接下来咱们逐个解答你的两个问题：

问题1：条件期望$E(X\mid A)$和随机变量$Y$的对应关系，以及直接定义 #

你提到的条件期望定义$E(X|Y=y)=\sum_x x P(X=x|Y=y)$，是针对随机变量取特定值的条件期望。这里咱们可以定义一个辅助随机变量$Y$：让$Y=1$代表第一次抛掷结果为正面，$Y=0$代表第一次抛掷结果为反面。这样的话：

• 事件$A$就是${Y=1}$，所以$E(X\mid A)$完全等价于$E(X\mid Y=1)$
• 事件$\bar{A}$就是${Y=0}$，所以$E(X\mid \bar{A})$等价于$E(X\mid Y=0)$

当然，$E(X\mid A)$本身也有直接针对事件的定义，不用非得引入第二个随机变量：对于概率大于0的事件$A$，$E(X\mid A)=\frac{E(X \cdot I_A)}{P(A)}$，其中$I_A$是事件$A$的指示变量——也就是当$A$发生时$I_A=1$，否则为0。把这个定义展开成求和形式就是$\sum_x x P(X=x \mid A)$，和你说的针对随机变量的条件期望本质是相通的，毕竟事件$A$本身就是某个随机变量取特定值的集合嘛。

问题2：为什么第一次抛反面时，$E(X\mid \bar{A})=1+E(X)$？ #

咱们从条件期望的定义一步步推导，就很清楚了：
首先，条件期望$E(X\mid \bar{A})=\sum_{k=1}^\infty k P(X=k \mid \bar{A})$。这里的$P(X=k \mid \bar{A})$表示「第一次抛了反面，且总共用了$k$次才得到连续3次正面」的概率。

那这个概率怎么理解呢？第一次抛反面已经用掉了1次，剩下的$k-1$次其实就是一个全新的「直到抛出连续3次正面」的过程——因为硬币是公平的，每次抛掷独立，之前的反面不会影响后面的概率。所以「第一次抛反面且总共用$k$次」的概率，就等于「后面$k-1$次刚好完成目标」的概率，也就是$P(X=k-1)$。

把这个代入求和式：
$$
E(X\mid \bar{A})=\sum_{k=1}^\infty k P(X=k-1)
$$
咱们换个变量，令$m=k-1$，当$k=1$时$m=0$，但$P(X=0)=0$（毕竟至少要抛1次才能有结果），所以求和可以从$m=1$开始：
$$
=\sum_{m=1}^\infty (m+1) P(X=m) = \sum_{m=1}^\infty m P(X=m) + \sum_{m=1}^\infty P(X=m)
$$
第一个求和就是$E(X)$（期望的定义），第二个求和是所有可能的$X$取值的概率和，也就是1（概率的规范性）。所以加起来就是$E(X)+1$，这就从定义上推导出了原结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1048887