关于Kemper《交换代数教程》引理1.1(b)证明的两处疑问

你好呀，我来帮你梳理这两个卡壳的问题：

疑问1：为什么存在属于$K[a_1]$的不可约因子？ #

首先咱们得先明确，$K[a_1,\dots,a_r]$是多项式环，所以它是唯一分解整环（UFD）。你担心会不会$g$的所有不可约因子都在$K[a_2,\dots,a_r]$里，也就是$p_1,\dots,p_k$是空集？其实这种情况根本不可能发生，咱们可以从证明的后续逻辑反推出来：

假设$g$真的没有$K[a_1]$里的不可约因子，那对于$K[a_1]$中任意一个非常数不可约元$p$，$p$和$g$在UFD $K[a_1,\dots,a_r]$里是互素的——毕竟$g$的因子都不在$K[a_1]$里，而$p$是$K[a_1]$里的不可约元，没法被$K[a_2,\dots,a_r]$中的元素整除。但根据证明里的步骤，我们能得到$g^s = p \cdot f$，这说明$p$整除$g^s$，可互素的元素怎么可能整除对方的幂次呢？除非$p$是$K$中的单位，但$p$是$K[a_1]$里的非常数不可约元，显然不是单位。这就矛盾了，所以$g$必然存在至少一个属于$K[a_1]$的不可约因子，作者只是把这些因子单独挑出来记为$p_1,\dots,p_k$而已。

另外你提到能不能把$g$换成$g \cdot a_1$来构造含$K[a_1]$因子的公分母？其实完全没必要，因为原来的$g$本身就必须带有这样的因子，这是由$p^{-1} \in A$这个条件（$A$是域，$K[a_1] \subseteq A$，所以所有非零元都有逆）强制的，不是我们人为添加的。

疑问2：为什么对$p^{{-1}$应用$\varphi$得到的是所有元素都是$p}{-1}$的对角矩阵？ #

咱们先回忆一下$\varphi$的定义：$\varphi(b)$是**乘法映射$x \mapsto b \cdot x$**在$\operatorname{Quot}(B)$上作为$L$-线性映射的矩阵，其中$L=K(a_1,\dots,a_r)$。

而$p$是$K[a_1]$里的元素，所以$p \in L$，那$p^{-1}$自然也属于$L$。对于$L$中的任意元素$c$，乘法映射$x \mapsto c \cdot x$在$L$-向量空间$\operatorname{Quot}(B)$上就是标量乘法。标量乘法对应的矩阵是什么样的呢？不管你选$\operatorname{Quot}(B)$的哪一组$L$-基${v_1,\dots,v_m}$，$c \cdot v_i = c v_i$，也就是说基向量$v_i$经过映射后还是$c$乘自己，所以矩阵的第$i$行第$i$列是$c$，其他位置全是0——也就是对角元全为$c$的对角矩阵。

这里$c=p^{{-1}$，所以$\varphi(p}{-1})$就是所有对角元都是$p^{-1}$的对角矩阵，完全符合这个逻辑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user628623