诺特环与理想的最大公因子等价性证明求助

最近我在读一本代数书，遇到了一道卡了好久的习题：

设$R$是一个环，$M$是包含$R$的所有主理想，且对任意两个理想的最大公因子（GCD）都封闭的最小集合。
证明：$R$是诺特环当且仅当$M$是$R$的所有理想的集合。

我目前的思路是这样的：

首先证明必要性（$R$是诺特环$\Rightarrow M$包含所有理想）：
已知诺特环的每个理想都是有限生成的，也就是说，对任意理想$I \trianglelefteq R$，都存在正整数$n$和$a_1,\dots,a_n\in R$，使得$I=(a_1,\dots,a_n)$。

• 当$n=1$时，$I$就是主理想，显然属于$M$；
• 当$n>1$时，我们可以把$I$拆成两个有限生成理想的GCD：$I=\gcd((a_1,\dots,a_m),(a_{m+1},\dots,a_n))$（其中$1\leq m <n$），而$M$对GCD封闭，所以通过归纳就能推出所有有限生成理想都在$M$里，也就证明了这一方向。

但充分性（$M$包含所有理想$\Rightarrow R$是诺特环）我完全没头绪。我需要证明每个理想都是有限生成的，或者等价地证明任意理想升链$I_1 \subseteq I_2\subseteq \dots$最终稳定，已知条件是每个理想要么是主理想，要么是两个理想的GCD。实在不知道该怎么入手，有没有大佬能给点提示或者帮助呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者martinr