关于模m同余等价关系商集中等价类数量与代表元范围的疑问

嘿，我来帮你把这个问题掰明白，先从你提到的模1的误解入手吧——你这里对模1同余的理解有点偏差，咱们先纠正这个，再讲核心问题～

首先回忆同余的定义：$a \equiv b \pmod{m}$ 的本质是 m能整除a和b的差，也就是存在整数k，使得 $a - b = k \times m$。那模1的时候，任何两个整数的差都是1的倍数（毕竟所有整数都是1的倍数），所以所有整数都属于同一个等价类，根本不存在两个不同的类。你之前写的R(0)和R(1)其实是同一个类，因为1-0=1，是1的倍数，所以 $1 \equiv 0 \pmod{1}$，它们完全等价。

接下来回到你的核心问题：为什么模m的等价类有m个，而且代表元是0到m-1？

这要用到整数的带余除法：对于任意整数a，我们总能把它写成 $a = q \times m + r$ 的形式，其中q是商（整数），r是余数，而且余数r满足 $0 \leq r < m$——这个余数r是唯一的，没有第二种可能。

那两个整数a和b同余 $\pmod{m}$，当且仅当它们除以m的余数完全相同：

• 如果a和b余数都是r，那 $a - b = (q_1 - q_2) \times m$，显然能被m整除，满足同余条件；
• 反过来，如果a≡b $\pmod{m}$，那a-b是m的倍数，说明它们除以m的余数必然相等。

现在看余数r的可能取值：从0开始，到m-1结束，一共m个不同的取值（0,1,...,m-1）。每个取值对应一个独一无二的等价类——比如余数为r的类，就是所有形如 $k \times m + r$（k是任意整数）的数。

举个直观的例子，模3的时候：

• 余数0的类：{..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}
• 余数1的类：{..., -5, -2, 1, 4, 7, ...}
• 余数2的类：{..., -4, -1, 2, 5, 8, ...}
  你找不到第四个类，因为任何整数除以3的余数都只能是0、1、2中的一个，绝对不会出现3（余数必须小于除数m），所以最大的余数就是m-1。

总结一下：

• 带余除法保证了每个整数都对应唯一的0到m-1之间的余数；
• 同余的数共享同一个余数，不同余数的数绝对不同余；
• 余数的总数是m个，所以等价类的数量就是m个。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mr. Nicolas