基于矩阵迹矩求解正定矩阵特征值的实用方法问询

嘿，我最近碰到这么个问题，想请教下各位：

我手头有一个$d\times d$的正定矩阵$A$，现在希望通过它的迹矩序列${m_i}$来反推出它的特征值集合${\lambda_i}$，这里的矩序列定义是：
$${m_i}=\left{\frac{1}{d}\operatorname{Tr}(A),\frac{1}{d}\operatorname{Tr}(A^{2),\ldots,\frac{1}{d}\operatorname{Tr}(A}d)\right}$$

我知道$m_k$其实是$A^k$的特征值的平均值，所以可以用特征值的分布把它写成期望形式：
$$\frac{1}{d}\operatorname{Tr}A^k =E_{\lambda}\left[\lambda^k\right]=\int \mathbb{d}\lambda e^{k\log \lambda}$$

这个表达式看起来和拉普拉斯变换的形式（$\int d\mu\ e^{-k \mu}$）有点接近，我就在琢磨：有没有什么实用的方法能完成这个逆映射？也就是借助拉普拉斯变换或者逆拉普拉斯变换，实现特征值和矩阵迹矩之间的相互转换？

举个具体的例子，比如当特征值集合是${\lambda_i}=\left{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{100}\right}$的时候，该怎么操作呢？有没有靠谱的思路或者工具能用上？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yaroslav Bulatov