二阶线性齐次常微分方程显含未知函数y时的降阶方法问询

嗨，这个问题问得很关键！当方程是F(y,y',y'')=0这种显含y但不含x的形式时，咱们得换个变量替换的思路，具体操作步骤如下：

• 先做变量替换：令u = y'，但这里要注意，不能直接把y''写成u'（因为此时u是y的函数，而非x的函数），得用链式法则重新推导y''的表达式：
  由于u = dy/dx，那么y'' = d²y/dx² = du/dx = du/dy * dy/dx = u * du/dy
• 将这个替换代入原方程F(y,y',y'')=0，就能得到一个关于y和u的一阶微分方程：F(y, u, u*du/dy) = 0，这样就顺利把二阶方程降阶成一阶啦！
• 给你举个直观的例子：比如方程y'' = y*(y')²，代入替换后，u=y'，y''=u*du/dy，方程就变成u*du/dy = y*u²，这就是标准的一阶ODE了，接下来就可以用分离变量法等一阶方程的求解方法处理。

这个替换的核心逻辑是，因为方程里没有出现自变量x，所以把u看作y的函数来转换二阶导数，就能完美适配方程的形式，实现降阶～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ali Kıral