关于凯莱定理仅针对有限群陈述的疑问

嘿，这个问题问得特别到位！我来帮你理清楚这里的门道～

首先要给你吃个定心丸：你提出的第二个陈述完全正确！凯莱定理的一般形式确实是：每个群G都同构于集合G上的双射变换群的一个子群——也就是你说的“每个群G都同构于一个变换群”。

那为什么你的课本只给出有限群的版本呢？主要有这几个原因：

• 教学入门的考量：很多基础群论教材会先从有限群讲起，因为有限群的例子（比如对称群$S_n$、循环群$\mathbb{Z}_n$）更直观，学生更容易理解“置换群”的概念——毕竟有限集合上的双射就是我们常说的置换嘛，换成无限集合的话，“变换群”的概念相对抽象一点，入门阶段先讲有限的情况更容易上手。
• 历史渊源：凯莱最初提出这个定理的时候，就是针对有限群的，后来才被数学家推广到了任意群的情况。有些教材会保留最初的有限群版本作为入门内容，之后再拓展到一般形式。
• 实用场景的侧重：有限群的版本在很多具体问题里更常用，比如分类小阶群、分析有限群的结构时，把群嵌入到对称群$S_n$里的置换表示是非常好用的工具，所以课本可能先把这个实用的核心版本抛出来。

总结一下：你的理解没有问题，一般形式的凯莱定理是成立的，课本的限制版本只是出于教学或历史的原因，先呈现了更直观、更入门的有限群场景而已。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者EE18