关于C.H.爱德华兹《多变量高等微积分》中n维斯托克斯定理里“定向”概念及相关边界定义、积分细节的技术问询
编辑： 我倾向于认为最终结论应该是：只要我们在遍历过程中保持一致，把哪种定向称为正定向其实并不重要。
下面内容来自C.H.爱德华兹所著《多变量高等微积分》第五章第六节“斯托克斯定理”部分。我很确定书中的索引存在一些排版错误，以下引用内容在书中是连续的，我在其中穿插了自己的思考内容。
我们从$\mathbb{R}^k$中的单位立方体开始：
$$
\mathcal{I}^{k}= \left{ \left(x_{1},\dots,x_{k}\right)\in\mathbb{R}^{k}:\text{每个 }x_{i}\in\left[0,1\right]\right}
$$
它的边界$\partial\mathcal{I}{k}$是所有满足“其中一个坐标为0或1”的点$\left(x_{1},\dots,x_{k}\right)\in\mathcal{I}{k}$的集合；也就是说，$\partial\mathcal{I}{k}$是这个单位立方体的$2k$个不同的$(k-1)$维面的并集。这些面由以下集合定义：
$$
\mathcal{I}{i,\epsilon}^{k-1}= \left{ \left(x{1},\dots,x_{k}\right)\in\mathcal{I}^{k}:x_{i}=\epsilon\right}
$$
其中$i=1,\dots,k$，$\epsilon=0$或$\epsilon=1$（见图5.32）。$\mathcal{I}{k}$的第$(i,\epsilon)$个面$\mathcal{I}_{i,\epsilon}{k-1}$是$\mathbb{R}{k-1}$中的单位立方体$\mathcal{I}{k-1}$在映射$\iota_{i,\epsilon}:\mathcal{I}{k-1}\to\mathbb{R}{k}$下的像，该映射定义为：
$$
\iota_{i,\epsilon}\left(x_{1},\dots,x_{k-1}\right) = \left(x_{1},\dots,x_{i-1},\epsilon,x_{i},\dots,x_{k-1}\right).
$$
这里的映射定义是正确的吗？还是应该写成下面这样？
$$
\iota_{i,\epsilon}\left(x_{1},\dots,x_{k-1}\right) = \left(x_{1},\dots,x_{i-1},\epsilon,x_{i+1},\dots,x_{k}\right)?
$$
编辑： 上述疑问已经在评论中得到解答，结论是爱德华兹的写法是对的。我之所以好奇这个映射，是因为想知道把插入的维度放到末尾需要多少次置换操作。
映射$\iota_{i,\epsilon}$为面$\mathcal{I}{i,\epsilon}{k-1}$提供了一种定向。图5.32中的箭头显示了这些映射给$\mathcal{I}{2}$的面（即边）赋予的定向。我们可以看到，$\partial\mathcal{I}^{2}$的正定向（逆时针方向）由下式给出：
$$
\partial\mathcal{I}^{2}= -\mathcal{I}{1,0}{1}+\mathcal{I}_{1,1}{1}-\mathcal{I}_{2,1}{2}+\mathcal{I}_{2,0}{2}.
$$
我很确定上式右边的所有上标都应该是1，用来表示1维的“面”（也就是边），也就是应该写成：
$$
\partial\mathcal{I}^{2}= -\mathcal{I}{1,0}{1}+\mathcal{I}_{1,1}{1}-\mathcal{I}{2,1}{1}+\mathcal{I}_{2,0}{1}.
$$
这样是正确的吗？
如果$\omega$是一个连续1-形式，那么在定向分段$\mathscr{C}1$闭曲线$\partial\mathcal{I}{2}$上的$\omega$积分由下式给出：
$$
\int_{\partial\mathcal{I}^{2}}\omega= -\int_{\iota_{1,0}}\omega+\int_{\iota_{1,1}}\omega-\int_{\iota_{2,1}}\omega+\int_{\iota_{2,0}}\omega
$$
$$
= \sum_{i=1}{2}\sum_{\epsilon=0,1}\left(-1\right){i+\epsilon}\int_{\iota_{i,\epsilon}}\omega.
$$
显然，这个积分是在$x_1\times x_2$坐标平面上的单位正方形边界上进行的。也就是$\partial\mathcal{I}_{3,0}{2}$？或者我们可以把它看作$\partial\mathcal{I}_{3,\varepsilon}{2}$，其中$\varepsilon=0\vert1$表示我们要积分其边界的那个2维面？所以我想问：上面等式中的积分域到底是什么？
通过类比，我们定义$(k-1)$-形式$\alpha$在$\partial\mathcal{I}^{k}$上的积分：
$$
\int_{\partial\mathcal{I}^{k}}\alpha= \sum_{i=1}{k}\sum_{\epsilon=0,1}\left(-1\right){i+\epsilon}\int_{\iota_{i,\epsilon}}\alpha.
$$
正如第五节中所述，$k$-形式$f\mathrm{d}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x_{k}$在$\mathcal{I}^{k}$上的积分定义为：
$$
\int_{\mathcal{I}^{k}}f\mathrm{d}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x_{k}= \int_{\mathcal{I}^{k}}f.
$$
图5.32相关说明
这些图形是我很久以前研究应力张量时制作的。为了匹配爱德华兹的标注，我重新标注了“放大”图：
- $\color{red}{\text{正面: }x=1}$
- $\color{Green}{\text{右侧面: }y=1}$
- $\color{blue}{\text{顶面: }z=1}$
- $\color{cyan}{\text{背面: }x=0}$
- $\color{magenta}{\text{左侧面: }y=0}$
- $\bbox[black]{\color{yellow}{\text{底面: }z=0}}$
原始放大图使用$x,y,z$坐标，我重新标注后以匹配爱德华兹的内容。
按照图中的画法，正遍历方向是绕外法线进行的。那$\epsilon=0$的那些面，应该从内部遍历（右手拇指指向坐标正方向），还是从外部遍历（右手拇指指向外法线方向）？
编辑： 这可能实际上构成了一个答案。
下面这个修改后的图示似乎让我更接近理解：如果我们把楔积当作叉积来处理，会发现每个面都有一个向外的法线。所以在我标记为$'+'$的那些面上，法线是对应的基向量；而在标记为$'-'$的面上，外法线是基向量的相反向量。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Steven Thomas Hatton
