关于随机变量同分布的疑问：若(X,Z)与(Y,Z)同分布，是否必有X与Y同分布？

嗨，这个问题的答案其实是肯定的——X和Y一定有相同的分布！我来给你拆解一下背后的逻辑，核心就在边缘分布与联合分布的关系上。

首先，回忆一下随机变量的边缘分布是怎么从联合分布推导出来的：对于X的累积分布函数（CDF），我们有：
$$\mathbb{P}(X\leq x) = \mathbb{P}(X\leq x, Z < \infty)$$
这是因为“Z取任意值”是必然事件，所以X≤x的概率等价于X≤x且Z取遍所有可能值的概率。

而根据联合CDF的性质，这个概率可以表示为联合CDF在z趋向于正无穷时的极限：
$$\mathbb{P}(X\leq x) = \lim_{z\to+\infty} \mathbb{P}(X\leq x, Z\leq z)$$

题目中给出的关键条件是：随机向量$(X,Z)$和$(Y,Z)$同分布，也就是说对任意的$x$和$z$，都满足：
$$\mathbb{P}(X\leq x, Z\leq z) = \mathbb{P}(Y\leq x, Z\leq z)$$

把这个条件代入上面的极限式，就能得到：
$$\mathbb{P}(X\leq x) = \lim_{z\to+\infty} \mathbb{P}(Y\leq x, Z\leq z) = \mathbb{P}(Y\leq x)$$

这就说明X和Y的累积分布函数完全一致，而CDF相同是随机变量同分布的充要条件，所以X和Y必然同分布。

可能你之前会纠结X、Y与Z不独立的情况，但其实不管它们之间的依赖关系如何，只要$(X,Z)$和$(Y,Z)$的联合分布相同，边缘分布X和Y就一定相同——因为边缘分布本质上是联合分布对另一个变量的“全局汇总”，这个汇总结果由联合分布完全决定，既然联合分布一致，边缘分布自然也不会有差异。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kilkik