已知两点求旋转中心——垂直平分线法并非始终有效

你提的这个问题真的很关键！很多教程只讲了垂直平分线法的常规场景，却完全没提它在共线情况下的失效问题，确实容易让人困惑。别担心，我们可以用更通用的思路来覆盖所有情况，不管A、B是否和旋转中心共线。

首先得搞清楚垂直平分线法为什么会失效：当A、B和旋转中心O三点共线时，AA'和BB'的垂直平分线是两条平行的直线（因为它们都垂直于OA这条共线），自然找不到交点；如果其中一个点本身就是旋转中心（比如B=O），那BB'就是同一个点，连垂直平分线都没法画。

下面是覆盖所有场景的通用解法：

核心思路：利用旋转的两个本质性质 #

旋转中心O必须满足：

1. 到A和A'的距离相等，到B和B'的距离相等（旋转保距）；
2. 向量OA到OA'的旋转角，和向量OB到OB'的旋转角完全相同（包括方向）。

我们可以把这两个性质转化为代数方程来求解，分情况讨论：

情况1：AA'和BB'不平行（向量AA'与BB'不共线）

这时候垂直平分线法完全有效，直接用就行：

• 写出线段AA'的垂直平分线方程：所有到A、A'距离相等的点的集合；
• 写出线段BB'的垂直平分线方程；
• 解这两个直线的交点，就是唯一的旋转中心O。
• 最后可以验证一下：计算OA到OA'的旋转角，和OB到OB'的旋转角是否一致，确保结果正确。

情况2：AA'和BB'平行（向量AA'与BB'共线）

这时候垂直平分线法的两个方程会平行甚至重合，得结合旋转角相等的条件来解：

子情况2a：存在不动点（比如B=B'）

如果其中一个点旋转后位置不变（比如B和B'是同一个点），那这个点大概率就是旋转中心。直接验证：

• 计算向量BA旋转后的结果是否等于BA'：用向量的夹角和长度来判断，或者用旋转矩阵验算。
• 如果符合，那B就是旋转中心；如果不符合，说明给定的点对不存在合法的旋转中心。

子情况2b：A≠A'且B≠B'，且AA'∥BB'

这说明A、B、O三点共线，我们可以按以下步骤来：

1. 先通过距离相等的条件得到一条直线（比如AA'的垂直平分线，这时候BB'的垂直平分线和它平行或重合）；
2. 再利用旋转角相等的条件列第二个方程：
   对于点O=(x,y)，向量OA与OA'的夹角余弦值，等于向量OB与OB'的夹角余弦值，也就是：

   [(A'x - x)(Ax - x) + (A'y - y)(Ay - y)] / [(Ax - x)² + (Ay - y)²] = [(B'x - x)(Bx - x) + (B'y - y)(By - y)] / [(Bx - x)² + (By - y)²]
   

3. 联立这两个方程，解出唯一的O点，最后验证旋转角的方向是否一致（比如用叉乘判断正负）。

举个例子：A=(1,0)、A'=(-1,0)，B=(2,0)、B'=(-2,0)，距离相等的条件给出x=0（y轴），再代入夹角相等的方程，最终会解出O=(0,0)，也就是正确的旋转中心。

特殊情况：旋转角为0（A=A'且B=B'）

这时候相当于没有旋转，任意点都可以作为“旋转中心”，但这种情况一般没有实际意义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gorchestopher H