求环同态g:ℤ/100ℤ→ℤ/70ℤ中g(1)所有可能值的问题及代码修正

问题描述 #

我需要找出所有可能的g(1)值，其中g是从$\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$到$\mathbb{Z}/70\mathbb{Z}$的环同态。

最初的错误尝试 #

一开始我参考相关思路写了一段Python代码，试图求解g(1)=x的可能值：

x=0
while x <=69:
    if x % 101 == 0:
        if x == x**2:
            print(x)
    x=x+1

这段代码的输出只有0，显然结果不正确——问题出在环同态的核心条件理解错了，第一个判断条件x % 101 == 0完全不符合环同态的性质。

修正后的解法 #

后来我理清了环同态必须满足的两个关键性质，修正了代码：

x=0
while x <=69:
    if 100*x % 70 == 0:
        if x % 70 == x**2 % 70:
            print(x)
    x = x+1

这里的两个判断条件对应环同态的核心要求：

• 100*x % 70 == 0：在$\mathbb{Z}/100\mathbb{Z}$中，$100 \cdot 1 = 0$，根据环同态的性质，必须有$g(100 \cdot 1) = 100 \cdot g(1) = 0$在$\mathbb{Z}/70\mathbb{Z}$中，也就是$100x \equiv 0 \pmod{70}$。
• x % 70 == x**2 % 70：环同态需要保持乘法运算，即$g(1 \cdot 1) = g(1) \cdot g(1)$，对应到$\mathbb{Z}/70\mathbb{Z}$中就是$x^2 \equiv x \pmod{70}$。

运行修正后的代码，就能得到所有符合要求的g(1)值：0、21、35、56。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者username_1326