Scilab中能否将多项式作为矩阵进行求值？

问题根源 #

你当前代码的问题有两个核心点：

• poly(A,"x")并非生成A的特征多项式，而是将A的所有元素按列展开作为系数构造高次多项式（3x3矩阵会生成8次多项式），只有特征多项式代入原矩阵才会符合Cayley-Hamilton定理得到零矩阵，这和你的预期逻辑不符。
• 默认的horner(P,A)和P(A)都是元素级运算，即对A的每个元素单独代入多项式计算，而非执行矩阵乘法意义上的多项式求值。

正确实现步骤 #

1. 生成矩阵A的特征多项式 #

要得到满足Cayley-Hamilton定理的特征多项式，有两种可靠方法：

• 方法一：使用poly函数的"characteristic"参数

A = floor(10*rand(3,3));
// 生成A的特征多项式
P = poly(A, "x", "characteristic");

• 方法二：通过行列式手动计算（等价于特征多项式）

A = floor(10*rand(3,3));
x = poly(0, "x");
// 特征多项式为det(x*I - A)
P = det(x*eye(size(A)) - A);

2. 对矩阵A进行多项式求值（矩阵乘法意义） #

由于Scilab默认的horner是元素级运算，需要手动展开多项式并执行矩阵运算，或自定义一个矩阵多项式求值函数：

function res = matrix_horner(p, M)
    // p是目标多项式，M是待代入的矩阵
    coeffs = coeff(p); // 获取多项式系数，顺序为常数项到最高次项
    res = coeffs(1)*eye(size(M)); // 常数项乘以单位矩阵
    power_M = M; // 存储M的k次幂
    for k=2:length(coeffs)
        res = res + coeffs(k)*power_M;
        power_M = power_M * M; // 迭代计算下一次幂
    end
endfunction

// 使用示例
A = floor(10*rand(3,3));
P = poly(A, "x", "characteristic");
result = matrix_horner(P, A);

运行后result会是近似零矩阵（因浮点数计算误差，元素为极小值，可通过clean(result)处理清零）。

验证结果 #

执行以下代码可清除浮点数误差，得到严格零矩阵：

clean(result)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者cuati