关于n维向量丛中π*wₙ(ξ)=u|_E的证明方法问询

嘿，这个问题可以借助mod2系数的Thom同构和Gysin映射的性质一步步推导出来，咱们慢慢理清楚：

首先明确几个关键概念和已知条件：

• $u \in H^n(E, E_0; \mathbb{F}2)$是向量丛的Thom类（也就是你说的mod2基本类），核心性质是：每个纤维$(F_b, F{b,0})$上的限制$u|{(F_b,F{b,0})}$是该纤维对的唯一非零n维上同调类。
• mod2下的Thom同构是同构映射$\Phi: H^k(B; \mathbb{F}_2) \to H^{k+n}(E, E_0; \mathbb{F}_2)$，定义为$\Phi(x) = \pi^x \smile u$，其中$\pi^$是拉回映射，$\smile$是杯积。
• 你提到的已知等式$\pi^*w_n(\xi) \smile u = u \smile u$（mod2下杯积交换，左右相等）是关键突破口。

接下来是核心证明步骤：

1. 回忆Thom同构的逆映射是Gysin映射$\pi_!: H^{k+n}(E, E_0; \mathbb{F}2) \to H^k(B; \mathbb{F}2)$，它的性质是：对任意$x \in H^k(B)$，$\pi!(\Phi(x)) = x$。特别地，因为$\Phi(1_B) = \pi^*1_B \smile u = 1_E \smile u = u$（$1_B$、$1_E$分别是$H^0(B)$、$H0(E)$的单位元），所以$\pi!(u) = 1_B$。
2. 对已知等式$\pi^*w_n(\xi) \smile u = u \smile u$两边同时应用Gysin映射$\pi_!$：
   • 左边：$\pi_!(\pi^*w_n(\xi) \smile u)$，根据Gysin映射的“与拉回类杯积后再推前”性质，$\pi_!(\pi^*x \smile z) = x \smile \pi_!(z)$，这里$x = w_n(\xi)$，$z = u$，所以左边等于$w_n(\xi) \smile \pi_!(u) = w_n(\xi) \smile 1_B = w_n(\xi)$。
   • 右边：$\pi_!(u \smile u)$，注意到$u|E$（即$u$通过包含映射$j: E \to (E,E_0)$拉回得到的绝对上同调类$j^*u$）是$Hn(E)$中的元素。根据Gysin序列的正合性，$\smile u: H^n(E) \to H^{{2n}(E,E_0)$的核是$\pi}*$的像，所以存在$x \in H^{n(B)$使得$j}*u = \pi^*x$。那么$u \smile u = u \smile j^*u = j^*u \smile u = \pi^*x \smile u$，对这个式子应用$\pi!$，得到$\pi_!(\pi^*x \smile u) = x \smile \pi_!(u) = x \smile 1_B = x$。
3. 结合左右两边的结果，可得$x = w_n(\xi)$，而$j^*u = \pi^{*x$，所以$j}*u = \pi^{*w_n(\xi)$，也就是你要证明的$\pi}*w_n(\xi) = u|_E$。

补充一点：你提到的定向丛用Euler类的自然性，其实mod2下的Stiefel-Whitney类就是Euler类的mod2约化，这个证明思路本质上是定向丛Euler类证明的mod2版本，只是不用考虑符号问题（$\mathbb{F}_2$下无正负之分）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Qi Zhu