求满足特定核与映射条件的线性映射表达式
我来帮你把这个问题理清楚，你已经做了核空间分析的第一步，不过这里有个小疏漏需要先纠正，咱们再一步步推导到最终结果：
首先先明确所有已知条件：
- 线性映射 $f: \mathbb{R}^4 \to W$，其中 $W$ 是2维实线性空间，基为 $B = {w_1, w_2}$
- $f$ 的核空间 $\ker f = N = {(x_1, x_2, x_3, x_4) : x_1 + 3x_2 + x_4 = 0}$
- 已知映射条件：$f(0, 0, 0, 1) = w_1 − w_2$
第一步：修正核空间的基
你之前推导核空间的时候漏掉了自由变量 $x_3$，正确的核空间元素应该展开为：
$$(x_1,x_2,x_3,x_4) = (-3x_2 -x_4, x_2, x_3, x_4) = x_2(-3,1,0,0) + x_3(0,0,1,0) + x_4(-1,0,0,1)$$
所以核空间 $N$ 的一组基是 $\boldsymbol{v_1}=(-3,1,0,0)$、$\boldsymbol{v_2}=(0,0,1,0)$、$\boldsymbol{v_3}=(-1,0,0,1)$，维度为3（因为原方程是1个线性约束，$\dim N = 4-1=3$）。
第二步：推导$f$在标准基上的作用
我们可以利用核空间的性质（核内向量映射后为0）和已知条件，逐个求出$f$在$\mathbb{R}^4$标准基上的结果：
求$f(1,0,0,0)$：
构造核内向量 $(1,0,0,-1)$（满足$1+3*0+(-1)=0$），根据核的定义有 $f(1,0,0,-1)=0$。
由线性映射的性质展开：
$$f(1,0,0,-1)=f(1,0,0,0) - f(0,0,0,1)=0$$
代入已知的 $f(0,0,0,1)=w_1-w_2$，可得：
$$f(1,0,0,0)=w_1 - w_2$$求$f(0,1,0,0)$：
构造核内向量 $(-3,1,0,0)$（满足$-3+3*1+0=0$），同理有 $f(-3,1,0,0)=0$，展开得：
$$-3f(1,0,0,0)+f(0,1,0,0)=0$$
代入$f(1,0,0,0)$的结果，可得：
$$f(0,1,0,0)=3(w_1 - w_2)$$求$f(0,0,1,0)$：
这个向量满足$0+3*0+0=0$，属于核空间$N$，所以直接有：
$$f(0,0,1,0)=0$$已知$f(0,0,0,1)=w_1 - w_2$：题目已经给出，直接使用。
第三步：写出$f(x)$的表达式
对于$\mathbb{R}^4$中任意向量 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)$，根据线性映射的线性组合性质：
$$f(\boldsymbol{x}) = x_1f(1,0,0,0) + x_2f(0,1,0,0) + x_3f(0,0,1,0) + x_4f(0,0,0,1)$$
把上面求出的结果代入，合并同类项后得到：
$$f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1 + 3x_2 + x_4)(w_1 - w_2)$$
验证结果
我们可以简单验证是否符合要求：
- 当$x_1+3x_2+x_4=0$时，$f(\boldsymbol{x})=0$，完全匹配核空间$N$的定义；
- 代入$(0,0,0,1)$，得到$f(0,0,0,1)=(0+0+1)(w_1-w_2)=w_1-w_2$，满足给定条件；
- 表达式是线性的，符合线性映射的要求。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aley20
