关于流形上1-形式的无坐标系雅可比线性映射定义的问询
嘿，这个问题抓得很准——先顺着你给出的向量场雅可比的无坐标定义，我们完全可以给1-形式构造一个平行的、不依赖坐标系的“雅可比”线性映射，甚至能和向量场的定义形式对应起来，下面一步步拆解：
先回顾向量场的参考定义（方便对比）
设$X$是流形$M$上的光滑向量场，在临界点$x^$处的雅可比是线性映射
$$X'(x^): T_{x^}M \rightarrow T_{x^}M$$
其中$T_{x*}M$是$M$在$x$处的切空间，定义为：
$$X'(x^) \cdot u = \frac{d}{dt} \left( \text{d}{x^*}\Theta_t \cdot u \right)|{t=0}$$
对任意$u \in T_{x^}M$成立。这里$\Theta_t: M \rightarrow M$是$X$的流，$\text{d}_{x*}$是微分；因为$x$是临界点，$\Theta_t(x*)=x$，所以$\text{d}_{x*}\Theta_t$是$T_{x}M$到自身的线性映射。
在$x^$处取局部坐标系后，这个线性映射的矩阵表示就是常见的雅可比矩阵：
$$\left[ X'(x^) \right]{ij} = \left( \frac{\partial X^i}{\partial x^j} \right){x = x^*}$$
参考 Abraham-Marsden (1978)《Foundations of Mechanics》第72页。
1-形式的无坐标“雅可比”定义
对于1-形式$\alpha \in \Omega^1(M)$，我们需要的是一个线性映射，它能对应局部的$\frac{\partial \alpha_i}{\partial x^j}$矩阵，同时不依赖坐标系。核心思路是用流的拉回来替代向量场里的流的微分，具体定义如下：
我们定义$\alpha$在点$x^$处的导数映射（也就是你说的“雅可比”）为线性映射：
$$\alpha'(x^): T_{x^*}M \rightarrow T_{x*}*M$$
（注意这里是从切空间映射到余切空间，和向量场的切空间到切空间有所区别，这是1-形式的性质决定的）
无坐标的具体表述
对任意切向量$u \in T_{x*}M$，$\alpha'(x)(u)$是$T_{x*}M$中的余切向量，定义为：
$$\alpha'(x^)(u) = \frac{d}{dt}\bigg|{t=0} \Phi{-t}^ \alpha(\gamma(t))$$
其中：
- $\gamma(t)$是$M$上任意一条满足$\gamma(0)=x^*$、$\gamma'(0)=u$的光滑曲线；
- $\Phi_t$是$\gamma$生成的局部流（简单说就是$\Phi_t(x*)=\gamma(t)$，把$x*$沿着曲线$\gamma$移动$t$步）；
- $\Phi_{-t}*$是流$\Phi_{-t}$的拉回操作，作用是把$\gamma(t)$处的余切向量拉回到$x*$处的余切空间，这样我们就能在同一个向量空间（$T_{x*}*M$）里求导了。
等价的李导数表述
如果你熟悉李导数的话，这个定义也可以用李导数来简化：对任意切向量$v \in T_{x*}M$，余切向量$\alpha'(x)(u)$作用在$v$上的结果为：
$$\langle \alpha'(x^)(u), v \rangle = \frac{d}{dt}\bigg|{t=0} \langle \alpha(\gamma(t)), \text{d}{\gamma(t)} \Phi_{-t}(v) \rangle$$
这和向量场雅可比的定义形式非常对称——向量场是对流的微分求导，1-形式是对流拉回后的1-形式求导。
局部坐标系下的验证
取$x*$处的局部坐标系$(x1, x^2, ..., x^n)$，设$\alpha = \alpha_i dxi$（这里$\alpha_i$是坐标系下的分量函数）。当我们取$\gamma(t)$为沿$xj$方向的坐标曲线（即$\gamma(t)$的第$j$个坐标是$x^{j}+t$，其余坐标不变），代入上面的定义求导后，会得到：
$$\alpha'(x^)(\partial_j) = \left( \frac{\partial \alpha_i}{\partial x^j} \right){x=x^*} dx^i$$
这正好对应矩阵$\left[ \frac{\partial \alpha_i}{\partial x^j} \right]{x=x^*}$，也就是你要的“通常的雅可比矩阵”。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者DavideL
