含反双曲正切的二重积分与贝塞尔函数恒等式的证明方法问询

我通过两种不同方式计算同一个量得到了下面这个恒等式，但目前还没找到直接的证明途径。对于$s \in \mathbb{R}^+$，有：

$$ F(s) \equiv \int_0^\infty du_1 \int_0^\infty du_2 \ e^{-2 s (u_1+u_2+1)} \left((u_1+u_2+1) \operatorname{arctanh}\left(\sqrt{\frac{u_1}{u_1+1}} \sqrt{\frac{u_2}{u_2+1}}\right)\right)=

\frac{K_0(s) K_2(s)-K_1(s){}^2}{16 s} $$

想问问大家有没有什么思路能帮我完成这个恒等式的证明？

Update 1 #

我尝试做了变量替换$r = \sqrt{u / (u + 1)}$，得到了$F(s)$的另一种表达式：

$$ F(s) = \int_0^1 dr_1 \int_0^1 dr_2 P(r_1) P(r_2)

\left(\frac{1}{r_1 r_2}-r_1 r_2\right) \operatorname{arctanh}(r_1 r_2) $$

这里我引入了一个未归一化的概率分布：

$$ P(r) = \frac{2 r^2 \exp (s) \exp \left(-\frac{2 s}{1-r^{2}\right)}{\left(1-r}2\right)^3} $$

这个分布的（未归一化）偶矩可以表示为：

$$ R_k = \int_0^1 dr ; P(r) r^{2k}

= e^{-s} \Gamma \left(k+\frac{3}{2}\right) U(k+\frac{3}{2},3,2 s)$$

其中$U$是Tricomi合流超几何函数。利用$\operatorname{arctanh}$的幂级数展开，我得到了$F(s)$的级数表示：

$$ F(s) = -\sum_{k=0}^\infty \frac{R_{k+1}^2 - R_{k}^2}{2k + 1} $$

通过分部求和，我把这个式子重新整理成了：

$$ F(s) = -\frac{K_1(s)^2}{16 s^2} + \sum_{k=0}^\infty R_k^2 \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k-1} \right) $$

另外，要证明的恒等式也可以等价改写为：

$$ F(s) = -\frac{1}{4} \pi e^{-2 s} s \left(U\Bigl(\frac{3}{2},3,2 s\Bigr)^2-U\Bigl(\frac{1}{2},1,2 s\Bigr) U\Bigl(\frac{5}{2},5,2 s\Bigr)\right) $$

Update 2 #

我还试了另一种变量替换，令$p = u_1 u_2$，$q = u_1 + u_2$，得到了$F(s)$的另一种形式：

$$ F(s) = 2\int_0^\infty dq \int_0^{q2/4} dp \frac{(q+1) e^{-2 (q+1) s} \operatorname{arctanh}\left(\sqrt{\frac{p}{p+q+1}}\right)}{\sqrt{q^2-4 p}} $$

对$p$做分部积分后，式子可以重新写成：

$$

F(s) = \frac{1}{2} \int_0^\infty dq \int_0^{q2/4} dp ; (q+1) \sqrt{\frac{q^2-4 p}{p (p+q+1)}} e^{-2 (q+1) s} $$

现在可以先完成$p$的积分，结果是：

$$ F(s) = \int_0^\infty dq \frac{1}{2} \sqrt{q+1} (q+2)^2 K\left(-\frac{q^2}{4 (q+1)}\right) e^{-2 (q+1) s}-2(q+1)^{3/2} e^{-2 (q+1) s} E\left(-\frac{q^2}{4 (q+1)}\right) $$

这里$K(k)$和$E(k)$是完全椭圆积分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者abenassen