请求提供当$a\ge 1$且$k = (2a-1)q+2a-2$时$k\ge q$的替代证明方法

嘿，这是我之前在MSE上一个问题的延伸，我现在想证明：当$a\ge 1$且$k=(2a-1)q+2a-2$时，$k\ge q$。我自己试了一种证法，但总觉得不太对劲，想看看有没有其他思路。

我自己的尝试过程 #

我一开始用了反证法，不过思路可能有点局限——我假设同时满足两个条件：
$$k=(2a-1)q+2a-2, a \geq 1$$
以及
$$k=1$$

代入后得到：
$$1=(2a-1)q+2a-2$$
整理式子可得：
$$3-2a=(2a-1)q$$
进而解出$q$的表达式：
$$q = \frac{3-2a}{2a-1}$$

我把这个式子看作关于$a$的函数$f(a) = \frac{3-2a}{2a-1}$，对$a$求导后得到：
$$f'(a) = -\frac{4}{(2a-1)^2} < 0$$
这说明$f(a)$是随$a$增大而递减的函数。因为$a\ge1$，所以$f(a)$的最大值在$a=1$时取得：
$$f(1) = \frac{3-2\times1}{2\times1-1} = 1$$

也就是说：
$$q = \frac{3-2a}{2a-1} \leq 1$$

但这里$q$是满足$q \equiv 1 \pmod 4$的特殊素数，最小的这类素数是5，显然$q$不可能小于等于1，这就产生了矛盾。

不过这个证明只排除了$k=1$的情况，并没有直接证明$k\ge q$，所以我对这个证法不太满意。

我的最终疑问 #

能不能给我提供一个更直接、更严谨的替代证明，来证明当$a\ge1$且$k=(2a-1)q+2a-2$时，$k\ge q$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jose Arnaldo Bebita Dris