关于矩阵秩与幂次等价关系的反向证明问询

设 $n\ge2$，对任意给定的复矩阵 $A \in M_{n,n}$，令 $M(A)={A^{k}\mid k \in \mathbb{N}^{*}}$。若 $M(A)$ 是有限集，证明：
$\text{rank}(A) = \text{rank}(A^{k})$ 对任意 $k\ge1$ 成立当且仅当存在 $m\ge2$ 使得 $A^{m}=A$

我已完成的推导 #

我先定义了序列 $x_{n} = \text{rank}(A^{n+1}) - \text{rank}(A^{n})$，并且已经证明了无论何种情况都有：
$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_{n} = 0$$
因为 $x_n$ 只能取整数，这说明存在某个有限的正整数 $r$，当 $n\ge r$ 时，所有 $x_n=0$，也就是从 $A^r$ 开始，后续所有幂次的矩阵秩都相等：
$$\text{rank}(A^{r}) = \text{rank}(A^{r+1}) = \text{rank}(A^{r+2}) = \dots$$

对于充分性方向（即已知存在 $m\ge2$ 使得 $A^m=A$，推导出对任意 $k\ge1$ 都有 $\text{rank}(A)=\text{rank}(A^k)$），我已经能很轻松地完成证明。

我的疑问 #

现在我卡在了必要性方向的证明上：已知对任意 $k\ge1$，$\text{rank}(A)=\text{rank}(A^k)$，同时 $M(A)$ 是有限集，该怎么推导出存在 $m\ge2$ 使得 $A^m=A$ 呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathman