关于完全正映射中交换Φ与恒等映射张量积顺序后正定性的技术问询

大家好，我最近在研究完全正映射相关的矩阵分析问题，遇到了一个卡壳的点，想请教各位同行：

问题背景 #

首先明确一下已知条件：
假设$\Phi$是从$\mathbb{R}^{n\times n}$到$\mathbb{R}^{n\times n}$的线性映射，满足完全正性：

• 基础正性：若$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$是半正定矩阵，则$\Phi(A)$也为半正定矩阵；
• 张量扩展正性：对任意$m>1$，记$\mathcal{I}_m$为$\mathbb{R}^{m\times m}$上的恒等映射，那么对任意半正定矩阵$A \in \mathbb{R}^{mn\times mn}$，$(\Phi \otimes \mathcal{I}_m)(A)$必为半正定矩阵。这里的张量积运算定义为：若$A$可分解为$\sum_i A_i \otimes B_i$（其中$A_i \in \mathbb{R}^{n\times n}, B_i \in \mathbb{R}^{m\times m}$），则$(\Phi \otimes \mathcal{I}_m)(A) = \sum_i \Phi(A_i) \otimes B_i$，$\otimes$表示克罗内克积。

我的疑问 #

现在我想知道：能不能交换$\Phi$和$\mathcal{I}_m$的张量积顺序？具体来说：
如果半正定矩阵$A \in \mathbb{R}^{mn\times mn}$换一种分解方式，写成$A = \sum_i C_i \otimes D_i$（其中$C_i \in \mathbb{R}^{m\times m}, D_i \in \mathbb{R}^{n\times n}$），那么$(\mathcal{I}_m \otimes \Phi)(A) = \sum_i C_i \otimes \Phi(D_i)$是否也一定是半正定矩阵？

已尝试的思路 #

我自己先试了一些简单场景：

• 当$A$是单一张量项$A = A_1 \otimes B_1$，且$m=n$时，结论显然成立——因为此时$A_1, B_1$都是半正定矩阵，直接代入张量积运算就能验证正定性。
  但对于更复杂的情况，比如$A$是多个张量项的和，或者$m \neq n$的场景，我就找不到有效的证明思路了。

有没有朋友能给点提示，或者这个问题有没有已知的结论呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者qmww987