指数和上界证明中剩余积分的估计方法求助

我现在卡在一个指数和上界证明的问题里，想请大家帮忙看看怎么处理最后剩下的那个积分。先给大家梳理下背景和我已经完成的推导步骤：

问题背景 #

已知函数$f$满足以下性质：

• $f'' \in \mathrm{C}[a,b]$（二阶导数在$[a,b]$上连续）；
• 存在$A,B\geq 1$，使得对所有$x\in [a,b]$，有$f''(x)\geq 1/A$且$|f'(x)|<D$。

需要证明的结论是：
$$\displaystyle \sum\limits_{a\leq x < b}e^{2\pi i f(x)}\ll (f'(b) - f'(a))\sqrt{A} + \sqrt{A} + \ln(D(b-a))$$
其中$x$是$[a,b)$中的整数，$X\ll Y$表示$X = O(Y)$（即存在常数$C$使得$|X|\leq C|Y|$）。

我的推导进展 #

我参考了问题所在书籍里的引理证明技巧，把原问题简化为处理如下求和式：
$$\sum\limits_{f'(a)+\Delta\leq n\leq f'(b) - \Delta}I_{n}$$
其中
$$I_{n} = \displaystyle \int\limits_{[a]+1.5}^{[b]-0.5}e{2\pi i (f(x) - nx)}dx$$
$\Delta\in (0,1)$且$f'(b) - f'(a) > 10$。

我还做了两个不影响结论一般性的简化：

• 仅考虑$f'(x) > 0$的情况：将$f(x)$替换为$f(x) - [f'(a)]x$，原求和式的值不会改变；
• 由于$f''$连续，可得$f''\ll 1/A$。

接下来核心需要证明的是：
$$\int\limits_{a}^{b}e{2\pi i(f(x) - nx)}dx \ll \sqrt{A}$$

卡住的地方 #

注意到对每个求和范围内的$n\in (f'(a),f'(b))$，存在$c\in (a,b)$使得$(f(x) - nx)'\big|_{x=c} = 0$，于是我用泰勒展开得到：
$$f(x) - nx = f(c) - nc + \frac{f''(\xi)}{2}(x-c)^{2}$$
这里$\xi$是介于$x$和$c$之间的数。

到这里我已经推导出了$\sqrt{A}$的部分，但还剩下一个积分无法估计：
$$\int\limits_{\substack{\pi(x-c)^{2}>A \ x\in[a,b]}}\sin(\pi (x-c)^{2} f''(\tilde{\xi}))dx$$
其中$\tilde{\xi}$是依赖于$x$的变量，由于不清楚$f''$的具体行为，我完全不知道该怎么给这个积分找合适的上界。有没有大佬能给点思路或者提示？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者chirico