关于对称群$S_n$中置换符号与不动点数量乘积之和的证明问题

嘿，我来帮你搞定这个问题！你提到的要证明$\sum_{\sigma \in S_{n}} \epsilon(\sigma) \text{Fix}({\sigma})=0$（其中$n\ge3$），其实不用纠结固定点数量为$k$的偶置换和奇置换的具体计数，换个用循环分解+求和线性性的思路会简单很多，咱们一步步来：

第一步：拆分求和式，利用线性性简化问题 #

首先，回忆一下：$\text{Fix}(\sigma)$是置换$\sigma$的不动点个数，也就是满足$\sigma(i)=i$的元素$i$的数量。根据求和的线性性，我们可以把原来的求和拆成每个元素单独贡献的和：
$$\sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma)\text{Fix}(\sigma) = \sum_{i=1}^n \sum_{\substack{\sigma \in S_n \ \sigma(i)=i}} \epsilon(\sigma)$$
换句话说，我们不用一次性考虑所有置换的不动点总数，而是对每个元素$i$，计算所有把$i$当成不动点的置换的符号之和，最后把这些结果加起来。

第二步：分析单个元素的贡献 #

对任意固定的元素$i$，所有满足$\sigma(i)=i$的置换$\sigma$，其实就是$S_n$中保持$i$不动的置换集合——这个集合和$S_{n-1}$（也就是去掉$i$后剩下的$n-1$个元素构成的对称群）是一一对应的：每个这样的$\sigma$都可以看作是$S_{n-1}$里的一个置换$\tau$，再加上$i$这个1-循环。

关键的一点是：这个对应关系是保符号的。因为$\sigma$的符号$\epsilon(\sigma)$等于$(-1)^{n - c(\sigma)}$，其中$c(\sigma)$是$\sigma$的循环个数；而$\sigma$的循环个数就是$\tau$的循环个数加1（多了$i$这个1-循环），所以：
$$\epsilon(\sigma) = (-1)^{n - (c(\tau)+1)} = (-1)^{(n-1) - c(\tau)} = \epsilon(\tau)$$
也就是说，$\sigma$的符号和它在$S_{n-1}$上的限制$\tau$的符号完全一致。

第三步：计算$S_{n-1}$中所有置换的符号和 #

现在，内层的求和$\sum_{\substack{\sigma \in S_n \ \sigma(i)=i}} \epsilon(\sigma)$就等价于$\sum_{\tau \in S_{n-1}} \epsilon(\tau)$。

题目里给出$n\ge3$，所以$n-1\ge2$。对于$m\ge2$的对称群$S_m$，偶置换和奇置换的数量是相等的，都是$\frac{m!}{2}$。那它们的符号和就是：
$$\sum_{\tau \in S_m} \epsilon(\tau) = \frac{m!}{2} \times 1 + \frac{m!}{2} \times (-1) = 0$$
也就是说，每个内层求和的结果都是0。

第四步：汇总结果 #

既然每个元素$i$对应的内层求和都是0，那$n$个0加起来的结果自然也是0，于是原式得证：
$$\sum_{\sigma \in S_{n}} \epsilon(\sigma) \text{Fix}({\sigma})=0$$

补充：关于你之前思路的小说明 #

你之前尝试用容斥计算固定$k$个不动点的置换数，这个思路本身没问题，但要继续走下去的话会比较麻烦——因为错位排列（derangement）的奇偶性并不总是对称的：比如当$m=2$（剩下2个元素错位排列）时，只有1个奇置换；当$m=3$时，2个错位排列都是偶置换。这会导致固定不同$k$值的置换符号和计算起来很繁琐，远不如上面的方法简洁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user874094