关于圆锥面唯一确定所需点数及相关疑问的技术咨询
咱们先一步步拆解你的问题，帮你理清这些困惑：
第一个疑问：5个点需不在同一条母线上才能确定圆锥面吗？
你的判断是完全正确的！
首先看这个过原点的圆锥面齐次方程：
$$ax{2}+by{2}+cz^{2}+2fyz+2gzx+2hxy=0$$
因为方程是齐次的，所有系数成比例的话，对应的是同一个圆锥面——所以实际上我们只有5个独立的自由度（比如你固定$a=1$，就剩下$b,c,f,g,h$这5个未知量）。
如果5个点都在同一条母线上，那每个点代入方程后得到的其实是同一个等式：母线上的点都可以表示为$t(x_0,y_0,z_0)$（$t$为任意实数），代入方程会得到$t^2 \cdot (ax_02+by_02+cz_0^2+2fy_0z_0+2gz_0x_0+2hx_0y_0)=0$，本质上所有点给出的都是同一个方程，这就导致方程组线性相关，无法解出唯一的系数。
只有当5个点分别在不同的母线上时，每个点代入后得到的方程才是线性无关的，这样就能唯一解出剩下的5个系数，从而确定圆锥面（在系数成比例的等价意义下）。
第二个困惑：5个点怎么决定准线的形状？
这里你可能混淆了一个点：圆锥面的准线并不是唯一的。圆锥面的定义是过定点（原点）且与某条定曲线（准线）相交的所有直线的集合，但你可以取任意一个不经过原点的平面，和圆锥面的交线都可以作为这个圆锥面的准线。
当你用5个不同母线上的点确定了圆锥面的方程后，这个圆锥面的几何性质就完全固定了：它是椭圆锥、双圆锥还是抛物圆锥，所有母线的方向，以及它和任意平面相交得到的准线形状，都由这个二次方程的系数决定。
换句话说，你不用去“确定”某一条特定的准线，因为圆锥面本身就包含了所有可能准线的信息。比如你确定方程后，取$z=1$的平面和它相交，得到的二次曲线就是一条准线；取$y=2$的平面相交，又是另一条准线，但这些准线都属于同一个圆锥面，它们的形状是由圆锥面本身的类型决定的——而这个类型已经被5个点唯一确定了。
总结一下：只要5个点在过原点的圆锥面上，且各自在不同的母线上，就能唯一确定这个圆锥面；圆锥面的几何特征（包括所有可能准线的形状）都由这个确定的方程来决定，不需要额外去单独确定准线。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sasikuttan
