关于群不可约表示的概念困惑及置换群S₃不可约表示求解的技术问询

嗨，我来帮你理清这些困惑，先从你最纠结的点说起：

首先你得明确一个核心点：一个表示是「群G + 向量空间V + 同态T: G→GL(V)」的三元组，这三者是绑定在一起的，不能单独拿T出来谈不可约性——不可约性是针对这个完整的三元组而言的！

你提到的“平凡表示不可约”，其实是有前提的：当V是1维向量空间的时候。如果V是n维（n≥2），那这个n维平凡表示（T(g)=I对所有g∈G）绝对是可约的——就像你说的，随便取一个1维子空间，它都是G不变的（因为每个群元素的作用都是恒等映射，子空间里的向量映射后还在子空间里），这就存在非平凡的G不变子空间，不符合不可约表示的定义。

而1维的平凡表示为什么不可约？因为1维向量空间只有两个子空间：{0}和V本身，根本不存在“非平凡”的中间子空间，自然满足不可约的条件。

接下来我们聊聊你的终极目标：找S₃的所有不可约表示。这里可以先用有限群表示论的一个关键结论帮你缩小范围：有限群的所有不可约表示的维数的平方和，等于群的阶数。S₃的阶是6，所以我们要找正整数d₁,d₂,...,d_k，使得d₁²+d₂²+...+d_k²=6。算一下就知道，唯一的解是1²+1²+2²=6——这意味着S₃有两个1维不可约表示，一个2维不可约表示。

下面具体介绍这三个表示：

• 第一个1维表示：平凡表示
  取V为1维向量空间（比如复数域ℂ），对任意置换σ∈S₃，定义T(σ)=1（也就是恒等映射）。刚才已经解释过，1维空间没有非平凡子空间，所以这个表示不可约。

• 第二个1维表示：符号表示（交错表示）
  同样取1维V，对任意σ∈S₃，定义T(σ)=sign(σ)——也就是偶置换映射到1，奇置换映射到-1。这也是个同态（因为偶置换乘偶置换还是偶置换，奇×奇=偶，偶×奇=奇，对应符号的乘法规律），而且因为是1维，自然不可约。

• 第三个2维不可约表示：标准表示
  这里给你一个直观的构造方式：
  考虑ℂ³中满足x₁+x₂+x₃=0的所有向量构成的子空间V，这个子空间是2维的（因为有一个线性约束，维数是3-1=2）。对于任意置换σ∈S₃，我们定义它在V上的作用是置换坐标：比如σ=(1 2)（交换1和2位置的元素），就把向量(x₁,x₂,x₃)映射到(x₂,x₁,x₃)——因为x₂+x₁+x₃=x₁+x₂+x₃=0，所以映射后的向量仍然在V里，这就定义了一个同态T: S₃→GL(V)。

  现在证明它不可约：假设存在非平凡的G不变子空间，那它一定是1维的（因为V是2维），意味着存在非零向量v=(a,b,c)∈V（即a+b+c=0），使得对所有σ∈S₃，σ·v=λ_σ v（λ_σ是某个标量）。比如取σ=(1 2)，作用后得到(b,a,c)=λ v，所以b=λa，a=λb，c=λc。如果c≠0，那λ=1，所以a=b，结合a+b+c=0得c=-2a。再取σ=(1 3)，作用后得到(c,b,a)=λ' v=(λ' a, λ' a, λ' (-2a))，但c=-2a，所以-2a=λ' a，a=λ' a，这就要求λ'=-2和λ'=1同时成立，矛盾。所以不存在这样的1维不变子空间，因此这个2维表示是不可约的。

总结一下：

• 不可约表示的判断必须绑定具体的向量空间V，脱离V谈“某个表示不可约”是不严谨的；
• 平凡表示只有在1维时才不可约，高维平凡表示都是可约的；
• 找有限群的不可约表示，可以先利用维数平方和的定理确定维数，再构造对应的表示并验证不可约性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者EE18